石墨烯（graphene）是單層的石墨，全部由碳原子組成且其晶格為蜂巢結構。這樣的結構讓石墨烯具有十分特殊的性質，自從在2004年發現以來，就成為許多物理學家關注的焦點。從實際應用價值來看，它有機會取代矽成為新一代半導體的基礎材料，因此一直吸引許多科學家持續投入相關的研究。

在石墨烯中，能量為零的點恰好是上、下兩個能帶的接觸點，稱為狄拉克點（Dirac point），這也就是〈光晶格模擬石墨烯〉裡所說的奇異點（singularity）。在這個接觸點附近，由於能量正比於動量的量值，因此這樣的能帶接觸點就稱為線性能帶接觸點（linear band-touching point, LBTP）。

石墨烯的能量－動量色散關係與大多數凝態系統中的準粒子大異其趣，因此帶來許多意料之外的現象。例如由相對論性量子力學得知，在類氫原子系統的原子核中，如果原子序大於137（1/α=ℏc/4πε₀e²，其中α是精細結構常數、ℏ是縮減普朗克常數、c是真空中的光速、e是基本電荷、ε₀是真空介電常數），則真空極化（vacuum polarization）效應會讓系統產生超級帶電真空（supercharged vacuum）現象。此時它的波函數會同時包含電子和正子兩部份。電子的部份會掉入原子核，而正子的部份則逃向無窮遠處。實際上，這樣的條件很難在一般原子核中實現。

因此雖然理論的預測已經超過70年，物理學家仍然無法在核物理實驗中直接觀察到這個現象。幸運的是在石墨烯系統中，1/α大為降低，這讓物理學家得以在石墨烯系統中觀察到超級帶電真空現象。此外，石墨烯可說是二維材料的始祖，近年來深受矚目的過渡金屬二硫族化物（transition-metal dichalcogenide, TMD）和石墨烯一樣具有層狀結構，而且也都是蜂巢晶格。

除此之外，石墨烯也是一種拓撲材料。如果把石墨烯捲成一個邊界為鋸齒狀（zigzag）的奈米碳管，就可以分解為幾個互相獨立的蘇－施里弗－席各（Su-Schrieffer-Heeger, SSH）模型，這個最簡單的一維拓撲絕緣體模型，最早用於描述聚乙炔鏈上的電子運動行為。當拓撲絕緣體處於拓撲相時，它的邊界上會出現零能邊界態（zero energy edge state）。在一般材料中，電子的能量本徵態波函數在空間中會呈現振盪行為；但是邊界態的波函數則是集中在邊界，一旦離開邊界，波函數會隨著距離呈指數下降。一維系統對應的拓撲數是環繞數（winding number），它決定了邊界態的個數，這就是拓撲材料中廣為人知的體邊對應（bulk edge correspondence）……