許多看來平凡無奇的材料，例如用於製造冰箱的不鏽鋼、桌面所含的石英，都藏著迷人的物理學。這些材料是晶體，以物理學來說，是由高度有序、重複排列、原子間隔規律，稱為原子晶格的結構所組成。電子如何在晶格內移動、從某個原子跳到另一個，決定了固體的多種特性，例如顏色、透明度，以及導熱與導電的能力。舉例來說，金屬之所以閃亮，在於含有大量自由電子，可以吸收光後再大部份釋出，因此表面帶有光澤。

在某些晶體裡，電子的行為可以產生更奇特的性質。石墨烯（graphene）是由碳原子排列成六角晶格組成的晶體，其中移動的電子會產生一種極端量子效應，稱為穿隧效應（tunneling effect），使得粒子可以穿越古典物理認為應可阻擋其前進的能量壁壘。石墨烯也可以顯現一種稱為量子霍爾效應（quantum Hall effect）的現象：傳導的電流大小會以階梯狀增加，取決於兩個基本物理常數。這些特性使石墨烯本身變得很有趣，並可能有各種應用，包括優化電子裝置與能量儲存裝置、改善生物醫學裝置等。

我與其他物理學家想了解石墨烯在原子層次發生什麼事，但運用現有技術觀測這個尺度的活動很困難。電子移動過快，無法捕捉想觀察的細節。然而，物理學家找到一種聰明方式，藉由光波模擬物質來繞過這個限制：使用光波建構所謂的光晶格（optical lattice）來替代原子晶格，光晶格與原子晶格有完全相同的幾何形狀。例如在最近一項實驗，我的團隊製作了石墨烯的光學型式，它與標準的碳原子型式有著相同的六角晶格結構。在我們的系統裡，超冷原子能夠在光波所形成的亮暗晶格裡跳動，就像電子在石墨烯的碳原子之間跳動一樣。

運用光晶格和超冷原子，我們可以把系統放大，把粒子的跳動過程放慢到足以觀察，然後測量。我們的系統並非完美複製石墨烯，但足以理解感興趣的現象，甚至用於研究固態晶體裡不可能出現的晶格物理現象。我們的實驗揭露了模擬的材料的特殊性質，這些與石墨烯裡的奇特物理性質直接相關。

拓撲材料

我們所研究的晶體現象，來自於量子力學對波動般的粒子運動所施加的限制。畢竟，雖然晶體內的電子有質量，但它們既是粒子又是波（我們使用的超冷原子也是如此）。在固態晶體裡，這些限制局限了單一原子裡的單一電子，在任一可能的運動模式（稱為量子態）裡只有單一能量值，禁止其他能量值存在。不同狀態下會有分開而不同（離散）的能量值。但是在一顆葡萄般大的固態晶格裡，原子總數（約10²³個）通常比地球上的沙粒還多。這些原子和電子之間產生的交互作用使離散的能量值散佈開來，允許的能量範圍變寬，稱為能帶（energy band）。把材料的能帶結構繪製成圖表後，可以立即顯露材料的某些特性。


(插圖：Jen Christiansen)

例如，製造屋頂太陽能電池的常用材料為矽晶體，它的能帶結構圖會顯示禁止的能量區間，稱為能隙（energy gap），寬度約1.1電子伏特。如果電子可以從能隙下方的狀態跳到能隙上方的狀態，就可以在晶體內流動。對人類來說很幸運的是，這種數量豐富的材料能隙與陽光波長之光能重疊。因此矽晶體吸收陽光後，電子便在其中流動，讓太陽能板把陽光轉換為可用的電力。


(插圖：Jen Christiansen)

某些晶體的能帶結構區分出一類材料，稱為拓撲材料。在數學裡，拓撲指的是如何在形狀變換時不改變基本性質。這裡所指的「變換」是變形，例如彎曲或拉扯，而不增加或減少其孔洞。因此單純依每個物體孔洞的數目，拓撲可以區別棒球、貝果與鈕釦……