一項看起來很簡單的實驗：精確測量一個粒子由A點移到B點所花的時間，卻可能帶來量子物理的突破。這項研究聚焦於標準量子理論之外的一套替代理論，稱為「波姆力學」（Bohmian mechanics），波姆力學認為有一種隱藏不可見的波動，引導著粒子移動。

德國慕尼黑大學一個團隊所做的新研究，以波姆力學為基礎對這項實驗給出精確預測；波姆力學是理論物理學家波姆（David Bohm）於1950年代提出，並由現代理論學者予以擴展。標準量子理論無法計算粒子穿越A點和B點所花的時間，而物理學家必須仰賴假設與近似方式來估算。慕尼黑大學團隊的理論學者亞里斯塔赫（Serj Aristarhov）說：「如果人們知道標準量子力學這套如此受到鍾愛的理論，無法精確預測這種簡單情況，應該會感到奇怪。」

量子世界很怪這件事並不是秘密。假想有一把電子槍對著螢幕發射電子，就像經典的雙狹縫實驗一樣（參見右頁〈雙狹縫的時間難題〉），你無法確切預測特定電子會打在何處而產生螢光點。但經過一段時間後，你可以精確預測一群電子累積所得的亮點空間分佈或圖案；有些區域會有較多電子擊中，其他區域則較少。這個奇怪的結果隱藏了更奇怪的事：在所有條件都相同時，各個電子抵達偵測器的時間會稍有不同。如同位置一樣，抵達時間會形成一個分佈：有些時間會有電子較頻繁抵達，有些時間則較稀少。教科書裡的量子物理無法精確預測這個時間分佈。慕尼黑大學團隊的理論學者達斯（Siddhant Das）說：「標準量子理論只能夠計算出『何處』，無法計算出『何時』。這意味著事情有點不對勁。」

這個詭異的缺點有一個深刻的緣由。在標準量子理論裡，一個可以測量的物理性質稱為可觀測量（observable），例如粒子的位置。每一個可觀測量對應的數學運算稱為算符（operator）。但是標準量子理論裡並沒有一個算符對應到觀測時間。1933年奧地利理論物理學家包立（Wolfgang Pauli）指出，量子理論裡無法容納時間算符，至少在標準的理論框架就是如此。他寫道：「因此我們的結論是，引入時間算符必須由根本加以放棄。」

部份量子、部份古典

然而，測量粒子的抵達時間或飛行時間，是實驗物理中重要的一環。例如歐洲核子研究組織（CERN）的大強子對撞機（LHC）裡稱為質譜分析儀的偵測器，就是用於測量抵達時間，以計算粒子、離子與分子的質量與動量。其中有個嚴重的難題：儘管這些計算與量子系統有關，實驗學者無法由未經修改的量子力學計算出來，而是需要假設一些條件。例如其中一個方法是，假設粒子一旦離開發射源就表現出古典行為，也就是遵循牛頓的運動方程式。

這導致一種半古典混合式算法──部份量子、部份古典。它由量子觀點出發，每個粒子以波函數（wave function）這種抽象的數學量來表示。具有相同條件的粒子於發射源釋出時，會有相同的波函數，但是測量各個粒子在釋出那一刻的動量或位置，每次都得到不同的值。整體來說，這些數值所形成的分佈會精確符合起始波函數的預測。具有同樣起始條件的粒子群，以這些數值釋出，然後假設釋出後的粒子遵循古典路徑，結果會是它們抵達偵測器的時間就形成一個分佈，而這分佈取決於粒子群起始的動量分佈。

標準量子理論提供了另一種量子力學方法來計算抵達時間。粒子飛向偵測器時，其波函數依據薛丁格方程式（Schrodinger equation）演變，描述粒子狀態隨著時間的變動。考慮一維運動的情況，偵測器與發射源之間有一定的水平距離。薛丁格方程式決定了粒子的波函數，因此決定了在該處偵測到粒子的機率，並假設粒子只通過該處一次（當然，在標準量子力學裡沒有明確方式來證實這個假設）。根據這個假設，物理學家可以計算粒子在某一時間t或更早抵達偵測器的機率。亞里斯塔赫說：「從標準量子力學的觀點，這完全沒問題，你也會期望得到很好的答案。」

不過其中有個棘手的事。由抵達時間等於或小於時間t的機率換算到確切等於t的機率，必須計算一個稱為量子通量（quantum flux）或量子機率流（quantum probability current）的量，也就是粒子出現在偵測器上的機率如何隨著時間改變。只不過有時候量子通量是負值，雖然不容易找到對應很大負值的波函數。亞里斯塔赫說：「無法避免這個量是負的，這是個災難。」負的量子通量導致負的機率，而機率永遠不可能是負的。

只有當量子通量為正值時，才能以薛丁格方程式計算抵達時間的分佈。在現實世界裡，這只發生在當偵測器位於「遠場」（far field，與發射源有相當的距離），且粒子在沒有位能變化的空間內自由移動時。實驗學者在測量粒子於這類遠場的抵達時間時，半古典混合式算法及量子通量算法的預測類似，都與實驗結果相符。但這兩種算法在「近場」（near field，偵測器很靠近發射源）的情況下，無法精準預測。

波姆力學準確預測

2018年，達斯和亞里斯塔赫以及博士指導教授道爾（Detlef Durr，於去年逝世），開始與同事研究以波姆力學為基礎預測了粒子的抵達時間。標準量子力學裡的粒子在測量前並沒有精確的位置或動量，因此沒有軌跡，這與波姆力學不同；波姆力學裡的粒子是真實存在，而且有彎彎曲曲的軌跡，並可由確切的運動方程式所描述（但有別於牛頓的運動方程式）。

他們的第一個發現是，在遠場所做的測量無法分辨波姆力學與半古典混合式算法或量子通量算法預測之間的差異。原因出自於距離拉長後，波姆軌跡會變成直線，所以半古典混合式算法得以成立。再者，在遠場的情況下，直線軌跡的量子通量總是正值，且其數值與波姆力學的預測完全相同。亞里斯塔赫說：「如果把偵測器放得夠遠，然後做波姆力學分析，會發現它與半古典混合式算法及量子通量算法都相符。」......