談起數學競試，很多人腦中首先浮現的，應該是國際奧林匹亞數學競試，因為台灣學生在這項競賽的成績一向不錯：每年夏天，我們總會在報紙上看到誰跟誰得到金、銀、銅牌等，讓大家留有印象。能參加奧林匹亞數學競試的，都是各國高中以下的數學績優生，其中大半後來都有不錯的生涯發展。我曾和許多人一樣，覺得這樣的競賽畢竟只是場智性遊戲而已，不必賦予太嚴肅的意義。所以當我得知其實有17位以上的得牌學生，後來獲得了數學大獎「費爾茲獎」時，便開始對這種競試另眼相看。

有一項數學競試比奧林匹亞數學競試歷史更悠久，名氣大約還要更大，那就是美國的「帕特南數學競試」，這項競試是帕特南夫人為了紀念先夫而創立。第一屆比賽於1938年舉行，參賽者皆是大學生，他們是以學校為單位，由各大學選拔組隊參加，每一隊有三名成員。前幾名的隊伍有獎金，個人成績位於前五名者除了有獎金，同時也獲得「帕特南會士」的稱號。

帕特南競試考試時間為六小時，分上下午兩場各三小時，每場考六題，每題10分，總分120。依據維基百科，2003年只有三成不到的學生，其總分在10分以上。在任何年度，成績的中位數不是0就是1。所以帕特南競試題目都是難題，入選為帕南特會士不是易事。

我們很容易在網路上看到帕特南會士的名單，這份名單令我感到有趣之處是，上面出現一些我認得的物理學家的名字：首先是費曼，他是第二屆帕特南會士，當時他代表美國麻省理工學院；其次是密爾斯，1948年會士，他後來與楊振寧合作提出「楊－密規範場論」；同樣與楊振寧合作過的吳大峻則是1953年會士；知名粒子物理學家布約肯（James Bjorken）是1954年會士；提出「重整化群」的威爾森（參見2013年9月號專欄「形上集」）是1954與1956兩年的會士；提出「手徵異常」的艾德勒（Stephen L. Adler）則是1959年會士。

康乃爾大學名教授摩明（參見2019年10月號形上集）和威爾森是哈佛大學數學系同學，摩明在威爾森過世後寫文章回憶說，威爾森的數學比自己強太多，但是班上還另有人比威爾森更強。我一直好奇那人到底是誰？當我在帕特南會士名單上看到費爾茲獎得主、代數幾何學家孟弗（參見2014年12月號形上集）是1955與1956兩年的會士，我馬上知道摩明所說的必定是孟弗。威爾森與孟弗兩人在1956年都代表哈佛大學，誰能想到這兩位大學者曾是帕特南競試隊友呢？誰又能猜到威爾森與布約肯也曾同在1954年參賽呢？

另一個引我興趣的名人同年參賽的例子出現在1947年，那一年葛爾曼代表耶魯大學參賽，不過他的表現不足以成為帕特南會士，只能列於榮譽榜。同一年，因為賽局理論獲得諾貝爾獎的納許也參賽，他的成績比葛爾曼好，但是仍只排在6~10名，也未能當上會士，這讓好勝的納許極度失望。我猜當時兩人應該並不相識，他們能夠預料到多年後，各自都成了科學界傳奇人物嗎？

我在前幾回形上集說，絕大多數科學研究的目標在累積新知識（儘管其中多數的價值不高），以龐卡赫的比喻說就是在挖、搬石頭。偶爾有人能夠靈光一現，進一步利用這些石頭蓋出漂亮的建築。不過挖石頭可說是基本功，沒有挖石頭的能力與經驗，根本無法蓋起樓房，也就是說，基本功不強就不可能產生洞見。數學競試似乎可以鑑別某類基本功的高低，這就是這種競試的意義。基本功來自天份與努力，從奧林匹亞數學競試的成績看，台灣學生的基本功顯然不錯，成為有用的科學家應該沒有問題。

1947年帕特南競試有以下一題：

a,b,c,d為相異整數，方程式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-4＝0有一整數根r，請證明4r＝a＋b＋c＋d。

沒人知道葛爾曼與納許是不是答對了，但我猜這題難不倒他們。好奇的讀者是否願意動下腦筋試一試？