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數學

幾何學家收服傑利蠑螈

2019-02-01 杜秦 ( Moon Duchin )
數學家正在發展檢定選區劃分的技術,找出不正當的政治地圖

重點提要

  1. 圖利單一政黨的不公選區劃分方式,已經在全美引起法務挑戰,但是法院仍缺乏判斷「傑利蠑螈」的實用標準。
  2. 數學家近來加入戰局,發展可依循的統計方法,找出受到巧妙操縱的選區劃分,並擔任法庭內外的專家顧問。
  3. 選區劃分的方法非常多,就算以最快的電腦來評估,也是巨大的數據挑戰。不過美國法院接受了一種堪當重任的數學工具:馬可夫鏈蒙地卡羅法(MCMC)。


「傑利蠑螈」(gerrymandering)是美國的政治術語,意指不公正的選區劃分,它正在美國各地法院和新聞頭條上肆意「爬行」。美國最高法院最近審理了違憲的選區劃分案,據稱威斯康辛州的共和黨和馬里蘭州的民主黨因此取得席次優勢,但法院最後都規避了直接裁決。從2018年8月下級法院一項引人注目的判決開始,另一則北卡羅來納州的黨派選區偏頗案討論熱度也扶搖直上。至今尚不存在令大法官滿意、且足以處理相關爭議的法律框架。其中癥結,正如美國前大法官甘迺迪(Anthony Kennedy)在2004年所指出,對各級法院來說,首要之務是找出確認黨派選區偏頗事實的「可行標準」,這正是越來越多數學家自認可以幫上忙的地方。


兩年多前,我與一些朋友成立「度量幾何與選區偏頗研究群」,專門探討如何把幾何學和計算數學應用到美國的選區重劃上。從那時起,我們不斷擴展研究範圍和任務,致力於相關議題的研究、推廣、培訓和顧問服務。我們在全國舉辦的工作坊,參加人數已超過1200人,其中很多人已積極投入選區重劃計畫。現在正是適合計算數學介入這項議題的時機,選區偏頗研究牽涉的數學異常豐富,足以開闢一個研究領域,目前電腦計算能力的發展也恰好能配合選區重劃問題的規模與複雜度。儘管我們的研究群是專業技術取向,但核心目標仍是加強並保障公民權,我們與律師、政治學家、地理學家和社區團體密切合作,希望在下次美國人口普查和隨後的選區重劃前,可以建立所需的工具和理論。


在賦予民選代表權力的國家裡,企圖操控選舉過程的力量總會產生衝突。美國眾議院的席次依地理區域贏者全拿,選區劃分自然是攻防戰場。美國歷史中有許多離譜的選區劃分案例,例如在現任代表選區裡塞滿死忠選民,或是為了壓制黑人選民的政治權硬把傳統選區一分為三。這些所謂「集中選票」、「分散選票」策略的種種變形不但持續至今,且在這個巨量資料的時代演變得益發複雜。比起以往,現在光是要判定惡意選區劃分就十分困難。一般人認為「傑利蠑螈」有兩項特徵:怪異的選區形狀和不成比例的選舉結果,但這兩種特徵都不可靠。我們該如何判斷天平是否不公平地傾斜?

不能只靠目測法

「傑利蠑螈」這個詞源自1812年發生的事件,一如其名,意即奇特選區形狀蘊藏不公正的密謀。英文中「傑利」(Gerry)轉換自時任美國麻州州長的格里(Elbridge Gerry),他是獨立宣言的簽署人、制憲會議的主要成員、國會議員、和麥迪遜總統搭檔的副總統。想到讓這位開國元勳千古留名的,竟然是邪惡的選區重劃,實在頗堪玩味。「傑利的蠑螈」意在挖苦當時波士頓北岸一處蜿蜒選區,一般認為這個劃分方式偏袒格里州長所屬的民主共和黨(Democratic-Republican Party),暗傷對手聯邦黨(Federalist Party)。1813年,《塞冷公報》刊登了一幅木版畫政治漫畫,該選區的輪廓線被加上翅膀、利爪和尖牙,強調它宛如蠑螈的扭曲外觀。


古怪選區形狀包藏禍心的想法淵遠流長,期待嚴謹劃分選區促進民主理想的觀念,也和共和體制一樣悠久。1787年,麥迪遜在《聯邦論》中寫道:「民主的自然界線與中心點的距離,恰能容許遠方公民在有公共事務需要時聚集。」換句話說,行政區的劃分方式應該有相當的交通便利性。在1901年的「聯邦代表席位分配法」裡,美國法律首次出現針對選區的模糊規範,要求選區必須由「緊湊的地域」構成,於是「緊湊」一詞廣泛出現在相關的法律文字中,但從未定義。


舉例來說,在2017年全美州議會聯合會裡,我得知上一次人口普查後,猶他州立法者難能可貴地投入時間和精力,架設「猶他州選區重劃」網站,向一般公民徵求選區劃分方案,評選條件是選區必須「合理的緊湊」。我欣然接受這個機會,去檢視「緊湊」這種特性如何測試與施行,結果發現處理方式只是排除形狀怪異的選區地圖。這聽起來很荒唐,但猶他州可不是特例,美國有37個州把選區形狀規範形諸文字,而絕大部份案例裡,沒有客觀標準的「目測法」就是王道。


單憑形狀來決定選區劃分的問題,在於選區輪廓提供的資訊往往非常偏頗,且經常造成誤導。選區形狀醜陋可能有良好理由,自然地理、依循縣界或聯合社區利益都會影響選區的邊界,然而這些合理的優先考量往往成為惡意選區劃分的藉口。另一方面,直接、寬廣、對稱的選區劃分並不能保證劃分品質。就在2018年,美國賓州議會共和黨黨團起草的國會選區劃分案,在該州最高法院制定的五項「緊湊」公式評分中獲得高分,但數學分析結果顯示,這項劃分案黨派偏頗之極端,和2011年頒佈的扭曲劃分案無異。最後法官只好反常地採行無黨人士提出的劃分案。

選舉制度導致偏差

既然以選區形狀判斷「傑利蠑螈」不可靠,何不研究當選席次與選民投票模式的符合程度呢?當然,不成比例的選舉結果提供了濫權的初步證據,但話不要說太滿。以我家鄉麻州為例,2000年以來美國總統和參議院的13次聯邦選舉中,共和黨候選人獲得的平均票數超過全州的1/3。這是在麻州九個國會選區贏得一席所需票數的六倍,因為雙軌競爭(two-way race)的候選人只需多數票就能獲勝。然而自1994年起,麻州共和黨在眾議院從無斬獲。


你可能認為,我們會在麻州的選區劃分中找到排除共和黨合理贏得席次機會的「傑利蠑螈」,但數學並不能翻轉這裡的選舉結果。把並無問題的選舉結果席位和其他混淆變數擺一旁,先檢視全州投票數據:在2006年美國參議院麻州選舉裡,共和黨的蔡斯(Kenneth Chase)挑戰民主黨的甘迺迪(Ted Kennedy),蔡斯在全州搶下30%選票,在九個國會選區中,按比例應該會有三個選區擊敗甘迺迪,但這個局面並未出現。事實上,就算在麻州各地任意挑選城鎮或區域,數學上也不可能組合出一個偏好蔡斯的選區,因為他的選民根本不夠集中。大多數區域投票給蔡斯的比例反而接近全州平均,也就是說,蔡斯的鐵票區實在太少了。


這表示在現行選舉制度中,任何劣勢陣營的選民分佈都需具備一定程度的非均勻性,候選人(至少在理論上)才有機會取得席次。以上分析蔡斯/甘迺迪競選的方式,甚至沒有考慮空間形狀,例如標準的「同一選區必須相連」條件。選區劃分有這麼多出人意表的可能性,不免令人懷疑是否能問責於選區劃分者。

數學來救援

因為州法、人口統計與地理環境都會影響選舉結果,我們必須控制各種變因,因此評價公平性唯一合理的方法,是與其他符合規則的選區劃分方案進行比較。麻煩的是,研究由所有選區劃分可能組成的「空間」,是很難駕馭的大問題。


想像一個簡單的4×4方格圖,劃分為4個大小相等的相鄰區域、每區4個方格。若把方格圖想成西洋棋盤的一部份,這裡的「相鄰」是指「城堡」可從某個點上下左右移動,在該區域內暢行無阻(城堡連通)。如此一來,正好有117種劃分方法;如果容許斜角走法(皇后連通),則共有2620種方式。不過想要計數劃分方法的數目並不容易,美國麻州大學羅威爾分校教授普洛樸(Jim Propp)是組合枚舉領域專家,他就說:「在一維時,你可沿途切分路徑,各個擊破,但在二維從A點到B點的路徑會突然多出許多。」


最好的計數技術通常依賴遞迴概念,也就是求解一個問題,要運用比它少一步的類似問題。但是除非問題本身具有額外結構,二維空間的計數問題一般很難用遞迴來幫忙,得靠硬算才能完整列舉。雖然運用電腦上的巧妙程式,幾乎瞬間就能算出小型方格圖區域劃分的分類,但當方格圖規模變大時,問題複雜度驟升,任務很快就變得難以達成。例如算到9×9方格圖時,大小相等、城堡連通的劃分方法就超過700兆組,就算是高性能電腦也需要一星期才算得完,這似乎令人絕望。我們想評價選區劃分,卻無法列舉所有取代方案,更甭想做有意義的評價,聽起來就像在黝黑的無垠荒野中摸索。


好消息是目前有一項工業標準工具被科學領域廣泛應用,專門對付數據龐大的問題,稱為馬可夫鏈蒙地卡羅法(Markov chain Monte Carlo, MCMC)。馬可夫鏈是一種隨機漫步,下一步該往哪走,只取決於當下位置決定的機率(在每一個位置,擲骰子決定往哪個相鄰位置移動);蒙地卡羅法則是透過隨機抽樣來估計。結合兩者得到威力強大的工具,可在巨大的可能性空間中搜尋。MCMC已成功運用在破解監獄訊息、探測液體的性質和相變、為硬計算問題找到可證成的精準快速逼近方法。卓越的統計學家戴科尼斯(Persi Diaconis)在2009年的一項調查中估計,MCMC驅動了10~15%的科學、工程或商業領域統計研究,這個數字在那之後很可能往上攀升。雖然計算分析應用到選區劃分問題可以追溯到數十年前,但是慎重應用MCMC到選區劃分問題的研究,在2014年才出現。


假想有個格朗狄雅州官員請你評價該州議會的選區劃分。格朗狄雅地域是個4×4方格圖,州憲法要求選區劃分必須遵循「城堡連通」規則,那麼你很幸運,因為總共只有117種劃分方式,可以一一檢視。你還可以建立選區劃分可能性空間的忠實模型,以117個節點表示所有合格方案,如果兩劃分方式差別只有兩個方格交換,就在兩節點之間加上一條「邊」。有了邊的概念,只要計算某劃分方式變成另一劃分方式需做的雙格交換次數(也就是從一節點走到另一節點的步數),就可把兩方案相似度概念化。我把這模型稱為「後設圖」,因為它呈現的是分割另一張圖(選區地圖)的各種方法.......


# 關鍵字:數學傑利蠑螈政治選區
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