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不可勝數

藝數不會是異數

2018-03-01 李國偉
以藝術手法連結數學,不僅展現數學之美,更為傳統教學引進耳目一新的氣息。

▲最後的晚餐:達利在畫中加入正十二面體。圖源:Jorge Elias CC BY 2.0


目前很多國家的教育仍然偏重分科教學,而且師生互動程度不夠高,教材與生活的連結也不足。為因應21世紀社會變遷與科技發達的趨勢,這種型態的教育有加以改良的必要。美國從1999年起就推動所謂的STEM教育,其中各個英文字母代表科學(science)、技術(tecthnology)、工程(engineering)與數學(mathematics)。這種教育方式的特色是用專題來導引學生,在學習過程中把四個方面的知識有機融合,目標是解決具實際意義的問題。


經過若干年實踐之後,又日漸興起一股把STEM擴充為STEAM的潮流,新加入的A代表藝術(arts),也就是以藝術為主軸的人文素養。藝術與原來比較偏重科技的STEM連結起來,更能強化學生的創新能力,增進科技的人文關懷。人文與藝術的素養,可能是未來置身處處有人工智慧(AI)的世界裡安身立命所不可或缺的。從STEAM教育的潮流來看,現在呼籲重視數學與藝術的交流,就不該看做滿足少數人嗜好的異數,而應該能承載重要的任務。


最直接連結數學與藝術的方式,便是使用藝術手法展示數學內容。這種方式具有悠久傳統,幾何學是最常見的表現題材。西方國家(包括伊斯蘭世界)無論是教堂、宮廷、城堡,四處可見幾何的蹤跡,這種現象並不令人意外,因為幾何是建築造形的骨幹。然而在西方繪畫裡,特殊幾何形體(例如正多面體)的出現,值得格外關注。


所謂的正多面體,就是立體的各個表面都是同樣的多邊形,古希臘人便知道有五種正多面體:正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體,一般統稱為柏拉圖立體。柏拉圖(Plato)曾在論著中把火、土、氣、水與正四、六、八、二十面體連結。歐幾里得(Euclid)在著名的《原本》最後一卷裡,更證明除了此五種,就不再有其他凸正多面體,這是古希臘數學的一大成就。文藝復興時期,義大利帕西歐里(Luca de Pacioli)撰寫《神的比例》(De Divina Proportione),就曾請達文西(Leonardo da Vinci)手繪插圖;達文西不僅畫出柏拉圖立體的美化圖片,還首次展現鏤空內部的多面體骨架。



▲達文西手繪正多面體衍伸:阿基米德立體(左)的各面不全相同;正十二面體的骨架圖(右)。圖源: Aubrey


在柏拉圖之後,古希臘一代數學大師阿基米德(Archimedes)放寬了關於正多面體的規則要求,允許立體表面的正多邊形不必完全相同,只要從各個頂點觀察不出周圍有任何差異便可。如此產生了13種稱為阿基米德立體的半正多面體。到了17世紀,德國天文學家兼數學家克卜勒(Johannes Kepler)進一步放寬界定規則多面體的定義,因而能夠包容不滿足凸性的星狀多面體。


以上所提到的各類規則多面體,一直都是西方藝術家非常喜愛的物件。甚至20世紀超現實主義大師達利(Salvador Dali)的名畫「最後的晚餐」(參見右頁左圖),也以正十二面體局部的骨架為背景。1999年挪威藝術家桑德(Vebjorn Sand)在挪威奧斯陸機場建造了跨距14公尺的裝飾藝術,是在克卜勒發現的大星形十二面體內部裝入正十二與正二十面體,因此命名為「克卜勒之星」。


連結數學與藝術的另一種類型,是受數學概念啟發與導引而從事創作,其中最為人稱道的是20世紀荷蘭版畫家艾雪(M. C. Escher)。艾雪求學期間數學成績並不好,可是他卻深愛具有對稱與秩序的圖樣。通過敏銳的觀察與豐富的想像力,他不僅把幾何形態高度藝術化,還創作出從規則多面體變化而來、卻異乎尋常視覺經驗的版畫。艾雪中年之後名氣漸大,曾嘗試研讀數學裡的群論,想應用到對稱的分類。他與加拿大著名幾何學家寇克斯特(H. S. M. Coxeter)通信討論幾何問題,所繪的說明圖精準美麗,後來更用為製作版畫「圓極限IV」的依據......


# 關鍵字:不可勝數數學藝術正多面體
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