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形上集

知識vs.理解之二

2021-12-01 高涌泉
高爾斯說,主導當今數學的是追求理解的理論建構者。


我在2021年10月號與11月號專欄「形上集」藉由介紹數學家阿提亞與陶哲軒認為數學研究的目的在於理解,而不是追求證明定理,來對比知識與理解,也介紹了英國皇家學會前會長諾斯呼籲生物學家不要僅僅擴增數據(即知識),更要理解數據。儘管大家可能覺得這樣的看法再合理不過了,然而還是有學者懷抱著不同的觀點。


英國數學家高爾斯(Timothy Gowers)是1998年費爾茲獎得主之一,他是因為「廣泛利用了組合學的方法,而對於泛函分析有重要貢獻」而獲獎。高爾斯在2000年發表一篇文章,名為〈數學的兩種文化〉,其中對於數學家的描述引發了不少議論。他說數學家可以分成兩類,一類認為他們的主要任務是解決問題,另一類則相信他們應該做的是建構並理解理論。他覺得這樣的分類儘管過於簡化,但還是有些用處。他說這兩類數學家可以分別稱為「解問題者」與「理論建構者」。(數學上所謂的「解問題」大致就是證明某個結果是正確的,解決了問題當然就增加了新知識。)


有意思的是,高爾斯接下來講:「如果你不確定你屬於哪一類,請考慮以下兩項陳述:(1)解問題的目的是為了更理解數學;(2)理解數學的目的是為了更有能力解問題」。他知道數學家大多會說這兩種說法都有道理,一來,「不是所有的數學問題都同樣有趣,區分出比較有趣的問題的辦法之一,就是講明它們如何增進我們對於整體數學的了解」,所以第一項陳述有道理;但是二來「如果你花了很多年掙扎著要理解數學裡某個困難的領域,但是卻不能夠把所獲得的理解派上用場,那麼其他人為何要在乎你」,所以第二項陳述也成立。(我在11月號「形上集」說理解是主觀的,個人的理解若不能展現於創造新知識,其價值就有限。)儘管兩種說法都對,高爾斯相信多數數學家會更認可其中之一。


高爾斯舉例說阿提亞明顯是「理論建構者」,而傳奇數學家艾狄胥(Paul Erdos)則是「解問題者」。(我之前說陶哲軒覺得獲得「更深的理解」比解決問題更令他滿足,但是我相信一般數學家還是認為解問題是陶哲軒的強處。)高爾斯強調,他絕不是說數學家會純然只追求解決問題,或純然只建構理論,而是說他們會優先投入兩者之一。他也強調數學的發展兩者皆需。

高爾斯的文章引議的地方不在於他對於數學家的分類,而在於他把數學領域和數學家類別聯繫起來:他說研究代數數論或幾何學的大半是「理論建構者」,他們大概要理解並結合很多現存結果才能取得進展;相對地,研究組合學或圖學的人則大多是「解問題者」,解決組合學的問題並不必然要了解很多文獻.......

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