消失的矮精靈-科學人雜誌 Back to Top
教科書之外

消失的矮精靈

2021-08-01 陳文盛
絕對不要相信一般性的印象 …… 要專注細節。—福爾摩斯於〈藍石榴石探案〉


我年輕時在美國留學,接觸到一個圖謎,叫做「消失的矮精靈」(The Vanishing Leprechaun)。這1968年發行的圖謎,上頭畫著15個矮精靈,依虛線切割成三塊長方形,交換其中兩塊之後,就只剩下14個矮精靈,一個矮精靈不見了。擺回原形,又出現15個矮精靈。真神奇!


「消失的矮精靈」並非原創。類似的圖謎林林總總,都透過圖片的重組,讓物件數目很神奇地增加或減少。這類統稱為「解剖弔詭」(dissection paradox)的圖謎16世紀初就開始出現。「消失的矮精靈」當然不是真的憑空消失。矮精靈雖然少了一個,他的身體並沒有消失,而是被拆分,添加到其他矮精靈身上,每一個加一點點,改變微小以致於肉眼不易察覺。我們拿右圖中的解剖弔詭例子進行定量分析,比較容易了解。


這格子圖謎比「消失的矮精靈」更早出現,是1953年美國紐約一位業餘數學家柯瑞(Paul Curry)提出來的,所以也被稱為「柯瑞弔詭」。圖中A和B兩部份各有相同的紅色和藍色三角形,以及黃色和綠色的L形。這些圖形色塊經過重組(紅藍易位,黃綠位移),從A變成B,居然多出一個方格。好神奇!怎麼會呢?不信的話,拿起紙、筆和剪刀玩玩看就知道。


我們用幾何學分析一下A圖,看能否瞧出一點端倪。紅色三角形的面積是3×8/2=12格;藍色三角形的面積是2×5/2=5格;黃色7格;綠色8格,所以四種色塊加起來的總面積是32格。但是如果我們把這四種色塊拼起來的面積,用三角形的計算法算,面積應該是13×5/2=32.5格,多出0.5格。啊,A圖的紅藍黃綠四個色塊湊起來的形狀顯然不是真正的三角形;它比5×13三角形少0.5格。


紅藍黃綠四種色塊湊起來若不是三角形的話,問題只會出在斜邊。紅和藍三角形的斜邊不在同一條直線,肉眼看不出來,但數學可以證實:......


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