科學人雜誌
不可勝數

圓錐曲線簡史

2009-09-01 曹亮吉
- 古代的圓錐曲線研究以幾何為基礎,引進代數及射影方法後,讓它有了更豐富的面貌。
所謂圓錐曲線包括了拋物線、橢圓及雙曲線,它們都可由平面與圓錐以一適當的角度相截而得,所以通稱為圓錐截痕(conic section)。圓錐截痕屬於立體幾何的範疇,最早由古希臘人開始研究,歐幾里得曾寫過四大冊的圓錐截痕,可惜原著已遺失。不過歐氏之後不久的阿波羅尼奧斯(Apollonius,約公元前262~190年)參考了他的著作,發展出許多自己的想法,尤其是以一般的斜圓錐取代直圓錐,得到很多成果,寫成了《圓錐截痕》(Conics)八大冊。阿波氏為橢圓(或雙曲線)定義了焦點,並證明其上一動點到兩焦距離(簡稱點焦距)之和(或之差)為定長;此定長即為長軸(或貫軸)之長。現代的教科書往往反過來,以這樣的性質來定義橢圓(或雙曲線)。阿波氏並沒有提到拋物線的焦點,也許拋物線的焦點要和準線合用,才會得到有意義的結果,而他連橢圓(或雙曲線)的準線也完全沒有提及。不過公元300年左右的帕普斯(Pappus)卻說,歐氏已有焦點與準線的概念,並且證明了:圓錐截痕都有「點焦距/點準距=定值」的性質;定值小於1、等於1或大於1,各相應於橢圓、拋物線或雙曲線的情形。可怪的是,阿波氏強調他參考了歐氏的著作,但在他本人...

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