不可勝數

教學怎能相沿成習?

2016-09-01 張海潮
- 中學教師放棄了大學教育提供的制高點,安於傳統的教學方法。


我任教的大學設有師資培育中心,負責培養中學教師。多年來我一直為該中心開設一門「數學教材教法」,該校學生畢業之後,如果想當數學專任教師,就必須先修這門課。由於我曾經參與中學數學課綱的編定,開立數學教材教法本是得心應手,只是近年逐漸發現,修這門課的同學對我所教的內容多半不太在意,為什麼呢?


一個基本的原因是許多學生覺得他們讀過中學,並且當時在中學應試都很順利,他們總想,只要考上專任教師,就一定可以照本宣科複製自己以前的學習經驗,對我所提出的種種教學建議多半不想一顧。就以我在課堂上討論的幾個案例,來說明修課同學的狀況:


第一個案例:如何求sin15°?所有學生用的方法都是倍角公式:cos30°=1-2sin215°,整理後再開方。


這是一個在高中常見以繁就簡的教學例子;高中還有許多繁瑣的教法,我在課堂都一一指出,但似乎沒有效果,因為學生只願意使用當年他們老師所教的方法。


另一個案例:如何求sin1°?


在高中教三角學,傳統上都是只教幾個特別角的函數值,例如sin30°、sin45°、sin60°。但sin是一個函數,難道你不想讓學生知道sin函數的圖形?或者,不帶著學生去看課本附錄的三角函數表嗎?我敢打賭,幾乎沒有一位老師會帶學生看三角函數表及其所展現的規律。但是,如果不這麼做,學生如何理解sin函數的圖形?


第三個案例更讓修這門課的同學招架不住。如果在高中教三角學,一定會教正弦定理和餘弦定理,請問在三角學的範疇裡還有其他定理嗎?


當然,在解三角形的邊角關係時,這兩個定理就夠了,但是就三角學的內在結構看來,難道沒有其他的可能性嗎?透過這個問題,可以了解大家都不願意去思考。因為這已經提升到大學層次,即在修完整個向量代數後,對平面幾何和三角幾何進行總回顧。我們必須從向量代數反思,才能掌握三角幾何的定位。在這裡,同學已然與大學教育脫?了。


每次開這門課,在第一堂我總會請同學閱讀克萊恩(Felix Klein)的一小段講稿:


近年來,在大學數學教師……長期以來,大學裡的人只關心他們的科學本身,從來不想一想中學的要求,甚至不考慮與中學數學的銜接。結果如何呢?大學新生一入學,他們面對的問題好像與中學學過的東西一點也沒有關聯。當然,他們很快就忘記了中學階段學習過的東西。但是,他們畢業後擔任教師,又突然發現他們必須按中學教師的教學方法,來教授傳統的初等數學。由於缺乏指導,他們很快就墜入相沿成習的教法,而他們所受的大學訓練,則至多成為一種愉快的回憶,對他們的教學毫無影響。


這是19世紀末德國哥丁根大學的數學系首席教授克萊恩對參加研習班中學教師所說的話。研習的教材後來集結成一本書《高觀點下的初等數學》。此處所謂初等數學指的是中學數學,而高觀點就是大學數學系的學習內容。克萊恩是100多年前的人,他所說的話至今仍深具啟發。這段談話最後說到大學訓練對中學教師空留回憶,對他們在中學的教學毫無影響。100多年後的今天,似乎仍然如此,因為中學教師安於相沿成習的教法,放棄了大學教育提供的制高點。


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