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形上集

狄拉克海

2008-01-01 高涌泉
- 狄拉克海與反粒子的想法這項成就,背後不折不扣是數學的邏輯。


自伽利略與牛頓以來,數學(或者說邏輯)在科學上的威力是眾所周知的事,然而科學家對於為什麼會如此還是覺得莫名奇妙。名物理學家維格納(Eugene Wigner)在50多年前寫過一篇廣為流傳與辯論的文章〈數學在自然科學上無道理的效力〉,他在文中說:「數學在自然科學中極為有用,這件事近乎神秘,我們不知道如何解釋。」又說:「數學語言用來描述物理定律非常適當,是件奇蹟,我們既不理解、也不值得這件美妙的禮物。我們應該感激,並希望未來也仍是如此,也希望數學的有效性能推廣到其他領域。」


維格納以牛頓的萬有引力理論與馬克士威的電磁理論為例,說明數學推導出的結果遠超乎方程式卑微的起源所能解釋。然而我自己頭一次感受到數學的震撼,並不是來自牛頓或馬克士威的方程式,這或許是因為我當時以為他們兩人的方程式本來就是從觀察與實驗數據歸納出來的東西,所以「有效」多少是應該的事。我對於數學「還不太以為意」的態度,是遇上狄拉克方程式之後才徹底改變。


狄拉克是英國人,生於1902年,在23歲時就參與量子力學的發展,和海森堡、薛丁格並列為量子力學創建者。他生性害羞,後來娶了維格納的妹妹為妻,成了維格納口中「我知名的妹夫」。狄拉克在建立了量子力學基本架構之後,便進一步研究如何結合量子力學與相對論。具體一點講,狄拉克想要找出和愛因斯坦相對論原理相容的電子方程式,因為原先量子力學中的薛丁格方程式並不符合相對論的原則。他終於在1928年提出了一個美妙的方程式,它一方面與相對論契合,另一方面能夠解釋電子的某些神秘特性(如自旋等),也能在低速情況下化約到非相對論性的薛丁格方程式,可說是非常成功的方程式。


但是狄拉克方程式卻有項致命缺點:它允許電子具有負能量!也就是說此方程式的數學解包含了某些奇怪的量子狀態,電子一旦處於這些量子狀態,所帶的能量即為負值。天底下當然沒有負能量這回事,所以這些解似乎沒有物理意義!一般我們如碰到這種情況,只要把這些不合理的解拋棄掉就好了。但是這種做法在這裡卻行不通,因為量子力學的架構非常緊密,我們如果隨意拋棄負能量的解,數學矛盾就會出現,量子力學的根基就摧毀了。


狄拉克在苦思之後,於1930年提出極為奇怪但又合於邏輯的解決方案──具有負能量的量子狀態的確存在,但它們已經被電子佔據了,也就是說所謂的真空其實不是空無一物,而是充滿負能量電子。我們常稱這樣的真空為「狄拉克海」(Dirac sea)。那麼我們為什麼感受不到這些負能量電子呢?那是由於電子遵循不相容原理(每個量子態只能包容一個電子),所以其他電子無法進駐這些已被佔據的量子態。因此在一般狀況,狄拉克海只是個沒有任何作用的背景。不過一旦某個負能量態「空」了出來,相對於充滿了負能量電子的狄拉克海而言,這個空負能量狀態的行為就會像一個帶一單位正電的粒子。


原先狄拉克以為原子核裡帶正電的質子就是這種粒子,隨後馬上有人指出這個觀點有問題,他便修正自己的看法,認為這個「空洞」其實是一種新粒子,它的質量和電子一樣,但卻帶正電,稱為「正子」(positron)。不久之後,安德森(Carl Anderson)在美國加州理工學院實驗室裡發現了正子,證實了狄拉克的想法。如果有電子進駐空的負能量態,我們將會看到電子與正子相撞,然後一起消失(或者說彼此湮滅),因此我們說正子是電子的反粒子。現在我們已經了解,反粒子是量子力學與相對論結合後不可避免的結果,所以不只是電子有反粒子,所有粒子都有其反粒子。


狄拉克海與反粒子的想法是理論物理最高的成就之一,而這項成就的背後不折不扣是數學的邏輯。狄拉克說服了我:數學的確有不可思議的效力。


# 關鍵字:名家專欄物理形上集
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