小朋友適合學機率嗎?-科學人雜誌
不可勝數

小朋友適合學機率嗎?

2016-04-01 翁秉仁
學習機率與認知發展、經驗累積有關。大人都搞不清楚了,不如等孩子比較成熟後再教。


知名的「三門問題」改編自美國電視節目,內容如下:有三扇門,其中一扇門後面是轎車,如果觀眾猜中就可以帶走。觀眾選定一扇門後,知情的主持人會打開剩下兩扇門中的一扇,門後一定是空的。然後他問這位觀眾,要不要改選另外一扇門?


1990年,有人把此問題寄給《漫步》(Parade)雜誌的專欄作家莎凡(Marilyn vos Savant),高智商的她在專欄中回答說:應該換。第一扇門有1/3的機會贏,第二扇門則是2/3。


如果覺得這個答案很荒唐,你絕不孤單,據說數學家艾狄胥(Paul Erdos)過了很久才相信這個答案。事實上莎凡收到近萬封回函要求更正,包括許多冷嘲熱諷的數學專家。結果莎凡是對的!這個故事有許多寓意,本文想強調的是:機率絕不簡單,沒有必要鼓吹提早教機率。


「三門問題」在科普書中常列為機率悖論。打開坊間介紹悖論的書籍,可以發現數學的悖論如果不是跟邏輯或無窮有關,往往就是機率悖論。許多人喜歡思考挑戰直覺或常識的悖論,足以凸顯機率課題的困難。


正視隨機性的機率概念,在17世紀才出現,是費馬和巴斯卡討論未完賭局的賭金如何分配,在數學史算是姍姍來遲。事實上,討論不確定性現象的數學,似乎在所有文明都付之闕如,與其他基本的數學概念大不同。


基於不確定性課題在生活上的重要程度,我們理解希望提早教學的需求。不過重要的題材不見得都適合提早學習。微積分、相對論、量子力學當然重要,但顯然不宜提前到小學,除了需要知識累積,更牽涉到與常識違和的特性。機率的情況也許稍微好些,但仍有深刻的認知困難。


先看一個頗有啟發的例子。許多人學過邏輯,知道「若P則Q」和「若Q則P」不同,卻常在辯論時犯錯。演化心理學早已針對此做過研究,發現重點是演化利益的本能計算。一般人可以應付抽像的推理題,一旦涉及利益衝突,就很難遵從正確的邏輯,連專家也不例外。這表示演化本能的稟性,會介入知識的學習,其力量不可小覷。


從演化觀點,如果不確定性現象真的與人類生存息息相關,那麼「馴服隨機性」就不該是人類史上晚見的課題,反而可能早有對付它的方法,儘管或有錯謬,但自有符合人性的道理。


隨機性是新穎又幽微的概念,隨機現象通常掩蓋在「變化」之下。人類為了生存,「馴服變化」無疑是重要的課題,也一直是東西方哲學的重要母題。其中最簡單而有力的想法,就是認為變化是表象,背後另有深刻的規則掌控(例如,道、理型、宿命、神知,或自然科學)。


以規則馴服變化的素樸決定論成就了先民知識,也蔓延於古人的不確定性事務上,先是委諸命運或透過巫覡探求天意,後來更「理性」地嘗試拼合當代的數學天文知識,為鬼神難測的事務「建模」成「系統知識」。如今視為迷信的命卜之術,是具備一定理性(決定論)的偽科學。


直到現在,即使隨機性最顯然的賭博,相信計算秘訣、報名牌、號碼會輪替的,大有人在,反映了素樸決定論的認知方式。如果人類真的是以決定論來適應演化的物種,這個根深柢固的本能會干擾機率教學的成效就不足為奇。


能夠跳出決定論本能,以隨機性或統計性的思考面對日常事務,其實牽涉到整個世界觀或知識模態的轉換。我當然不是反對學習機率,只是認為高中前的數學教育最好能與認知發展配合,等到學生的經驗比較豐富、思維比較成熟後再學習,比較能事半功倍。


另外還有一個提前機率教學的「好」理由--許多國家把機率課程提早了。不過近年國際評量例如PISA的結果頗堪玩味:台灣學生「不確定性」的成績比其他數學內容雖然稍差,在「不確定性」部份卻比大多數國家好。


重點:台灣學生應試時,還沒學過任何的機率課程!


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