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解謎遊戲

如何挑出不亮的啞巴彈?

2003/03/01 夏沙(Dennis E. Shasha)
如何在良莠不齊的盒子裡找出可用的照明彈?

重點提要

假設你正要航向北極,而且需要帶五枚照明彈到達目的地。如何在良莠不齊的盒子裡找出可用的照明彈?

假設你有兩盒各有六枚的信號彈,其中一盒有三枚無用的啞彈(此盒稱為壞盒),而事先你並不知道哪一盒是壞的。由於照明彈看起來都是好的,如果想要測試,唯一的方法就是點燃它。不過萬一真的測試了,雖然我們可以知道它是好是壞,但是就算它原先是好的,測試完也就報廢了。


想像你正要航向北極,而且需要帶五枚照明彈到達目的地。請問你可以想出一個測試程序,讓你可以用不低於3/4的機率,選到五枚好的照明彈嗎?換個方式說,你可以設計一種選擇方式,讓100個造訪北極的旅客中,至少有75個人可以帶著五枚可用的照明彈嗎?如果壞盒中的啞彈是四枚,那麼對應的機率又會怎麼變化呢?



【暖身題(1)】
假設壞盒中有三枚啞彈,你怎麼在最多只能浪費四枚照明彈的條件下,確定找到兩枚好彈呢?

【解答】
任選一盒開始測試。如果在測試四枚之內,發現有啞彈,那麼這就是壞盒,從另一盒挑出兩枚照明彈即可。相反地,如果你測試四枚都是好彈,那麼這盒一定是好盒,選取剩下的兩枚照明彈就是了。



【暖身題(2)】
仍然假設壞盒裡頭有三枚啞彈,你如何用不低於1/4的機率,找到七枚好彈?

【解答】
隨意找一盒,選取所有的照明彈,再從另外那一盒任取一枚,湊成七枚就行了。這是因為你有1/2的機會選到好盒,而在這個情況下,從壞盒中選取的第七枚,有1/2的機會是好彈。由於這兩者是獨立的,因此選到七枚好彈的機率就是1/2×1/2=1/4。換句話說,依照機率法則,我們期望100人中有50人會選到好盒,而其中半數會在壞盒中選到好彈,因此機率就是25%。注意到,如果壞盒中的啞彈是四枚,只有兩枚可用時,那麼找到七枚好彈的機率就變成1/2×1/3=1/6。



【本期解答】
任意選一盒,從中間隨便選一枚照明彈做測試,如果是好的,就選剩下的五枚照明彈;如果是壞的,就從另一盒任選五枚。你出錯的可能,只有在選到壞盒,而且又選到好彈的情況,機率是1/2×1/2=1/4。換句話說,你有3/4的機會選對。如果壞盒中有四枚壞蛋,同樣的做法,出錯的機率是1/2×1/3=1/6,也就是說,壞彈越多,找到五枚好彈的機率越大。



【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2003年第13期3月號】


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