科學人雜誌
數學

數學家的黑板

2021-08-01 文/莫斯柯維茨(Clara Moskowitz) 影/溫恩(Jessica Wynne)
一項攝影計畫記錄了多位數學家在黑板上做數學的過程,並展現拓樸、幾何與其他數學理論的迷人之處。

重點提要

  1. 數學家在黑板上做數學的風格各有特色,他們的黑板宛如個人肖像畫。
  2. 這些肖像畫繞富趣味,不僅獨具意義與深度,也展現了數學家的原創力。
  3. 然而,數位工具逐漸取代黑板,這種美學也日漸消逝。


即使數學不可捉摸,卻依然美麗。攝影師溫恩(Jessica Wynne)想試著捕捉這種吸引力,於是從2018年開始,前往世界各地去拍攝數學家的黑板。她說:「我長久以來想要跨出我的知識領域。」由於溫恩不理解黑板上數學記號的意義,反而能從純審美的層面去欣賞數學。她補充道:「這種感覺好比看著一幅抽象畫,但是數學增添了更多趣味,因為在表面所見之下,還賦有重要的意義與超卓的深度,試圖揭示普遍真理。」


溫恩首次受到數學世界所吸引,是某年夏天前往美國麻州鱈角(Cape Cod)工作時,在附近結識了兩位來度假的數學家。當她聆聽他們說明自己的研究時,發現做數學和做藝術的過程有許多相似之處。溫恩說:「目睹他們工作的方式,還有研究成果所展現的原創力,我真的十分訝異。」


隨著溫恩開始到各所大學去拜訪更多數學家,她發現數學家的黑板風格真是多采多姿。她回憶道:「有些人的黑板乾淨有緻,看得出是深思熟慮的結果;也有人疾筆亂書,毫無條理。黑板宛如個人肖像畫,表現出數學家的個性。」


溫恩把自己所拍攝的許多照片結集成書,書名為《不要擦掉:數學家和他們的黑板》(Do Not Erase: Mathematicians and Their Chalkboards),由普林斯頓大學出版社在今年6月出版。她打算延續這項計畫,尤其因為最近的疫情限縮了原訂的旅程。


溫恩本來預計前往英國造訪劍橋大學的數學系,直到她得知該系所的黑板已經全部由白板和數位板所取代。溫恩說:「黑板的類比特性非常吸引我,我意識到很多地方已經在淘汰黑板,因此有一種記錄這些成果的迫切感。」


本文展示了其中七幀精采照片。




等周問題

狄多問題(Dido's problem,又稱等周問題)是可追溯到古希臘的一道數學難題:在所有等周長的平面圖形中,哪一種圖形的面積最大?古希臘人知道答案是圓,直到19世紀才終於確切證明,但是相應的問題在非歐幾何中仍未解決。法國朱希尤數學研究所的研究主任庫杜瓦(Gilles Courtois)曾經研究這道問題,他說:「我想我們找到一條通往解答的路,要旨十分簡單,一個黑板就寫得下。」很可惜這個想法不成立,所以計畫「還在進行中」。




混合高斯分佈

物理測量(例如從某族群隨機選擇的女性身高)經常會展現所謂的高斯分佈,圖形看起來像是圓滑的山峰。機器學習演算法常用於分析異質性數據(例如隨機女性和男性的身高),其中一項極具挑戰的任務是把測量數據分解成兩個或更多的成份。美國麻省理工學院的莫伊查(Ankur Moitra)和同事發現一種分離曲線的方法,只需要知道混合性數據的前六個「動差」(moment)。莫伊查說:「黑板上畫的是我們論文的關鍵證明,結果相當於取兩組不同的混合性數據相減,並說明所得的差函數最多穿越零軸六次。」




分岔的波線

黑板上的線圖表示波動演變過程的快照,其中白線是特定時間淺水區波型(wave pattern)結構的波峰位置。美國哈佛大學的數學家威廉斯(Lauren K. Williams)解釋:「波的相互作用很有趣,例如兩道波相遇之後可能只形成一道波,如果它隨著時間繼續變化,還能看到波相互作用的不同模式。」威廉斯與俄亥俄州立大學的?玉裕二(Yuji Kodama)使用這樣的圖示,來研究描述波行為的卡東切夫-培威亞施維利方程(Kadomtsev-Petviashvili equation,簡稱KP方程)解。他們發現某一類解所對應的波型,可以用多邊形的三角分割(黃線)來分類。威廉斯說:「如果稍微修改這類解的參數,這些波型會退化,形成例如黑板中間所呈現的白色『海星』圖案。」?玉裕二和威廉斯把黑板左下角的另一種線圖稱為「圍棋圖」,他們用這種線圖研究某類KP方程解。




行人路徑

黑板上的每條色線顯示出,某位行人在「頂點模型」(vertex model)的方格路網裡採行的路徑。由於不容許行人路徑發生重疊,所以每當兩人相遇時,各自就必須決定接下來行走的路徑。決定可能有偏好,例如冷色系行人可能比暖色系行人偏好往東走,而不是往北走。美國麻省理工學院的數學家鮑羅定(Alexei Borodin)說:「儘管描述簡單,但它的大尺度行為卻很複雜,和一些數學和物理現象緊密相關。」頂點模型可以擴充,來包含更多的行人和顏色。鮑羅定接著說:「這套系統之所以吸引我,是因為它結合了迷人的簡潔、隱藏的深度,以及數學在分析問題時的有效性。」他也喜歡問題中的「美學要素」。




有序的混沌

事實證明,混沌也有秩序。美國普林斯頓高等研究院的賀佛(Helmut Hofer)和同事,在1999~2003年間發展了一支研究這種秩序的領域,稱為辛動力學(symplectic dynamics)。賀佛的黑板上描繪的是「有限能量葉層」(白線),這工具能夠描述動力系統中的混沌現象,例如在地月之間運行的衛星。這個複雜的曲面系統,和衛星與兩個天體因重力發生交互作用而產生的位置及動量變化有關。賀佛希望「這項對混沌更完善的理解,最終能應用於太空任務的設計。」例如先前的做法是利用對混沌的直覺理解,研究探索太空時該如何妥善使用燃料,但代價是必須延長飛行時間。賀佛認為,他的新研究可在不延長任務時間的條件下,更進一步節省燃料。




匹配形體

根據拓樸學(topology)的原理,咖啡杯和甜甜圈具有「相同」的形狀,現已眾所周知。拓樸學家依據曲面的洞數為曲面分類,由於咖啡杯和甜甜圈都只有一個洞,因此在不切割或穿孔的情況下,可以把它們彎折或拉伸成相同的形狀,也就是說,在拓樸上兩者是等同的。同理,黑板上標記「2」和標記「6」的曲面也是拓樸等同的。美國紐澤西學院的數學家亨斯頓(Nancy Hingston)說:「這些非常好玩。」她在微分幾何研究的正是這些曲面上的路徑性質。




共同研究

黑板通常是數學家合作的最佳工具,是能融合兩人想法和直覺、既可見又可觸的場域。美國紐約皇后學院的數學家特里拉(John Terilla)和X射月工廠(X, the Moonshot Factory)的布萊德雷(Tai-Danae Bradley)正嘗試理解自然語言中蘊藏的數學結構。特里拉說:「那時我們第一次談到,要以某種特殊方式把這種結構形式化,我和她一起在黑板前討論,上頭是我們留下的字跡。例如這個大大的『存在(用?表示)函子F』是我寫的;下面的『在[0,1]上的hom(α,β)』是她寫的。」這項研究是特里拉探究主題的一部份,他想要尋找「事物背後的機制,理解它的運作原理。在闡釋事情時提升抽象層次,有點像離開日常行徑,爬到山上去俯瞰八方。做研究時這很有用,因為它可以在探索未知領域時顯示出前進的道路。」


# 關鍵字:數學攝影黑板藝術
更多文章
活動推薦更多
追蹤科學人