科學人雜誌
數學

數學建模對抗疫情

2021-06-01 舒宇宸
借助數學的抽象化能力,把人與人的互動轉化為各種模型,讓我們看清楚疫情的可能發展趨勢。

重點提要

  1. 現代的便利生活高度仰賴數學工具,例如簡訊傳送、網路加密,而數學其實也有助於防疫。
  2. 透過數學模型可以模擬病毒的擴散,基本的SEIR傳染病模型就是一例,可用於探究健康者、潛伏期、傳染者與康復者狀態的人數轉移過程。
  3. 數學中的滲流理論也能透過人與人之間的連結,進而預測疫情走向。


當你送出一則訊息、音檔、照片或影片給朋友時,曾想過這些資訊如何「精確、快速、安全」地發送到朋友的手機中嗎?


要精確,發送方與接收方就必須有共同的語言(或網路協定),把訊息數位化之後經由電子訊號傳遞。發送的過程中,會使用檢查碼,甚至用糾錯碼來避免受到干擾或糾正錯誤。要快速,就需要壓縮傳輸的資料來節省傳輸時間。要安全,便需透過加密與解密,即使在傳輸過程中被他人竊聽,竊聽者也解不出原來的訊息。


以上這些技術都仰賴數學工具,但我們往往感覺不到數學在其中扮演的角色,即使這種即時通訊過程早就變成我們現代人便利的必需品;也就是說,數學早在你不知道的情況下,無聲地融入你的日常生活。


模擬病毒傳播

2020年4月發生嚴重特殊傳染性肺炎(COVID-19,簡稱新冠肺炎)艦隊群聚感染時,磐石艦官兵來成功大學打球後,我就被學校通知要進行自我健康管理七天。原因是我曾經在教室指導一位與磐石艦官兵打球的學生,我與磐石艦官兵在社交網絡上屬於二度連結(也就是磐石艦官兵先連結到該學生再連結到我),所以我採行自我健康管理即可。


但這套警示系統是怎麼完成的呢?成功大學校長蘇慧貞是公衛專家,於2020年疫情爆發之初,她就積極繪製師生與職員之間的社交網絡:只要是同在一間教室上課的師生,或同在一個空間工作的職員,都得在進教室或辦公室時使用QR Code登記。一旦發生疑似案例,就可以據此找到適當而合理的隔離範圍,不必要全校都停課而影響師生的權益。要描述成大師生這樣上萬人的網絡,不可能是紙上作業,而是需要透過電腦記錄並分析巨量資料才有辦法完成。時至今日,行政院政務委員唐鳳推出的簡訊實聯制,就是在建立這樣的巨量資料。


在新冠肺炎這場全球大流行中,數學是怎麼與其他領域共同合作防疫呢?以描述疫情的擴散流動為例,數學家會建立傳染病的數學模型,推估基本傳染數R0(稍後會加以說明)以及染病人數的高峰,可盡早準備醫療資源或評估疫苗的防護效率等。40頁上圖是把染病者傳播病毒的過程簡化:假設每顆球都代表一個人,球的碰撞代表兩個人有接觸,而綠球S表示「健康未感染」,黃球E表示「帶有病毒但在潛伏期」,紅球I表示「已發病並具有傳染力」,藍球R表示「已恢復健康並具有抗體」。科學家可以透過軟體在電腦中模擬這些球在環境中相互碰撞,並以機率方式決定碰撞之後是不是染病。這樣的模擬方式稱為「蒙地卡羅法」(Monte Carlo method),簡單來說,以各種可能性來預估疫情的可能走向。


為了估計各狀態的總人數,可在模擬過程中把各狀態的人數加總,並透過數量來分析。假設沿用上述四個英文字代表各狀態的人數,S代表「未感染的總人數」,隨著時間t(天)變化,函數形式即是S(t),這四個變數SEIR的微分方程組如下:




其中「'」表示對時間t微分,而N=S(t)+E(t)+I(t)+R(t)表示總人口數。因為這套簡單的數學模型暫時不考慮死亡人數,所以N會是常數,而其中還有三個變數,其功用為何呢?40頁左側圖標示了SEIR四個狀態之間的人數轉移過程。其中健康的人S(t)中有多少比例會被傳染呢?假設健康的人有I(t)/N的機率會接觸到傳染者,被傳染的機率是β,所以S(t)中有β.I(t)/N比例的人會轉移到潛伏狀態E(t)。這些人潛伏多久後會轉成發病而具有傳染力呢?假設潛伏期有p天,在不知道哪些人是哪一天感染病毒的情況下,可假設潛伏狀態的人每一天轉移到發病狀態I(t)佔E(t)的比例就是1/p。如果發病後具傳染力的時間是q日,那麼每一天發病的人中將有1/q的比例移轉到康復狀態。一旦接觸率、潛伏期、傳染期這三個變數有所變化,就會看到四個狀態人數隨著時間不同的結果,藉以預測疫情的趨勢。





另外非常有趣的是,台灣大學化學系副教授徐丞志在疫情一開始(去年1月30日),也透過化學反應過程來預測疫情的發展!其中文章中提到的「化學二級反應式」,也就是「新增加的患者數」等於「當日患者數」乘上「當日健康者數」再乘上常數,當日患者數是I(t),當日健康者數是S(t),乘上的常數就是β/N。這跟上述的模型是不是有異曲同工之妙呢?疫情擴散是不是也與化學反應雷同呢?


在上述模型中,可推導出基本傳染數(basic repro-duction number, R0)=β.q。而R後面的0指的是,疫情初期時(t=0)一個病人在傳染期可能傳染的病人總數。所以當R0<1時,疫情擴散程度有限。而當R0>1時,染病的總人數就會像指數函數一樣,一傳十、十傳百,一發不可收拾。如果知道某種疾病的R0,就可以用來訂定防疫策略,控制疫情擴散。


舉例來說,如果估計出R0是10,每個人就必須把生活中可能遇到的人數減少至原來的1/10以下,也就是降低傳染率β;另一種方式是,政府以公權力限制病人的人身自由,例如透過篩檢來隔離有傳染力的病人,讓傳染期變短到原來的1/10以下,也就是縮短傳染期q。這兩種方式都可以讓有效傳染數(effective reproduction number, Re)<1,換句話說,加入防疫措施之後,就可減少傳染數,進而控制疫情。


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