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時間晶體

2019-12-01 威爾切克(Frank Wilczek)
這種奇異的新物質狀態,其整體型態每隔固定時間就會重複出現。這可能讓我們製造出更完美的時鐘,藉此精準測量距離與時間。


晶體是自然界最有規律的物質。在晶體內部,原子與分子排列成有次序且重複出現的結構,形成穩定堅硬的固體,而且通常看起來很漂亮。


在近代科學興起前,人們已經發現晶體既有趣又迷人,常視之為珠寶。在19世紀,把晶體的形式做出分類以及了解晶體對於光的影響是科學競相研究的主題,這方面的研究誘發了數學與物理學中很多重要發展。接著在20世紀,對於晶體中電子的基本量子力學研究,直接導致現代半導體電子學,更促成後來發明了網際網路與智慧型手機。


人們對於晶體的了解,目前正有新進展,這得歸功於愛因斯坦相對論的一項原理:空間與時間緊密相連,最終完全對等。因此我們自然會好奇,是否有物體在時間上能夠呈現類似於普通晶體在空間上所具有的性質。在研究這個問題之際,我們發現了「時間晶體」(time crystal)。這個新觀點和越來越多符合這個概念的新材料類型,帶來物理學上令人興奮的洞見,以及嶄新應用的潛力。


在完整解釋這個新概念之前,我必須澄清到底什麼是晶體。科學上最有用的答案涉及兩個深奧的觀念:「對稱」與「自發對稱破缺」(spontaneous symmetry breaking,或稱自發失稱)。


對稱


「對稱」在一般用法中,指的是平衡、和諧、甚至是公平,然而在物理學與數學中,意義就比較明確。我們說物體是對稱的或具有對稱,是指存在著一些可能改變這物體又沒有改變這物體的「變換」(transformation)。


這個定義最初看來可能很奇怪又很抽象,所以得先討論一個簡單的例子:圓。當我們把這個圓繞著圓心旋轉任意角度,這個圓看起來維持不變,雖然圓上每一個點都可能移動了;我們會說,圓具有完美的旋轉對稱。正方形也具有某種對稱,但不像圓的對稱那麼完美,因為必須把正方形旋轉90度,它才看起來維持不變。這些例子顯示數學中的對稱概念和一般的用法相比,在本質上是一致,卻有更為精準的優點。


對稱概念的第二個優點是可以加以推廣:我們可以調整對稱的意義,讓它不僅適用於形狀,還能夠廣泛應用於物理定律。我們說一個物理定律具有對稱,如果我們可以改變物理定律應用的情境,卻不必改變物理定律本身。例如,狹義相對論的基本假設是,當我們從兩個有固定相對速度的座標來看世界時,可以使用相同的物理定律。所以相對論要求物理定律具有一種對稱,也就是,物理定律在所謂「勞侖茲變換」之下具有維持不變的對稱。


對於晶體(包括時間晶體)來說,有另一類變換非常重要。這類稱為「平移」(translation)的變換非常簡單,卻極為重要。當相對論說不同座標系的觀測者可以使用相同的定律,空間平移對稱則是說處於不同位置的觀測者可以使用相同的定律。如果你把實驗室從一個地方移動(也就是所謂的「平移」)到另一個地方,你會發現原來的物理定律依舊適用。換句話說,空間平移對稱指的就是,我們在任一地點所發現的定律在每個地點也成立。


時間平移對稱也是類似的意思,只是針對的是時間而非空間:我們當下使用的定律對於過去或未來的觀測者也一樣適用。鑑於這種對稱的重要性,「時間平移對稱」值得使用比較不嚇人的名稱,起碼不要用上六個字;所以我會以希臘字母τ(唸做tau)稱呼它。


如果沒有空間平移對稱與時間平移對稱,在不同地點與不同時間所做的實驗將無法再現。在日常工作上,科學家不加思索把這些對稱當做是理所當然。的確,如果沒有這些對稱,我們將不會有科學,不過必須強調,空間平移對稱與時間平移對稱是可以用實驗去檢驗的事。例如,我們可以觀測遠處天體的現象,這些天體顯然位於不同的地點,由於光速有上限,我們現今可以觀察到天體過去的現象。天文學家已經累積出深入與精準的理解,知道物理定律也適用於過去。


對稱破缺


儘管晶體的對稱具有美感,然而對於物理學家來說,晶體特徵的定義恰恰就是晶體如何欠缺對稱。


設想有個全然理想化的晶體:它是一維的,晶體中原子的原子核依照固定間隔排列在一條線上,兩原子核的距離為d。因此它們的座標就是nd,n是某個整數。如果把這個晶體向右移動非常小的距離,它看起來就不會是原來的樣子。只有當把這個晶體繼續移動至d距離時,才會看到一模一樣的晶體,所以這個晶體有不完全的平移對稱(即具有程度較低的平移對稱),類似於正方形有較低的旋轉對稱。


物理學家對於這種狀況的說法是:在晶體中,基本定律的平移對稱是「破缺的」,以致於其平移對稱的程度較低。這剩餘的對稱代表了晶體的本質。的確,如果我們知道晶體的對稱涉及平移d的整數倍距離,就能知道兩個原子的相對位置。


晶體在二維與三維的對稱模式可以更為複雜,它們有很多型態,能夠呈現部份的旋轉對稱與部份的平移對稱。在14世紀,藝術家裝飾了位於西班牙格拉納達的阿罕布拉宮殿,他們透過直覺與嘗試,發現了很多二維晶體的可能型態。19世紀的數學家已經把所有可能的三維晶體型態做了分類。


在2011年夏天,我正準備教授數學中這一美麗的篇章,做為「對稱在物理學中的應用」課程的一部份。每一次面對正要教授的材料,我總想試著採用新觀點去檢視一番,如果可能的話,添加上一些新內容。那時我想到其實可以把三維空間中晶體可能型態的分類,推廣到四維時空中的晶體型態。......


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