物理

三體軌道之舞

數學家永遠無法「解開」所有三體軌道,但處理這個百年難題的一部份就已獲得十分奇妙的發現。

撰文/蒙哥馬利 (Richard Montgomery)
翻譯/翁秉仁

物理

三體軌道之舞

數學家永遠無法「解開」所有三體軌道,但處理這個百年難題的一部份就已獲得十分奇妙的發現。

撰文/蒙哥馬利 (Richard Montgomery)
翻譯/翁秉仁


2014年春天,我基本上已經放棄三體問題。由於我腦袋中沒有點子,便開始在筆記型電腦上寫程式、產生並搜尋近似解──雖然這永遠無法澈底解決我的問題,卻可能取得一些線索,讓我更接近答案。不過因為我缺乏寫程式的專業技巧又因此不耐煩,整個過程進展緩慢,讓我這個只會用紙筆做研究的數學家很不愉快。於是我找上老友,西班牙巴塞隆那大學的教授西莫(Carles Simo),想說服他協助我加快這拖沓的搜尋。


該年秋天我到西班牙見西莫,他是天體力學領域最具原創力也最謹慎的數值分析學者之一,是個坦率的人,既不浪費時間,講話也不繞圈子。在西莫研究室的第一個下午,我解釋完問題之後,他眼神銳利看著我,問道:「蒙哥馬利,你為什麼在意這個?」


原因說來話長,這必須追溯三體問題的根源。牛頓在1687年出版《自然哲學的數學原理》,首度提出並解決了雙體問題:「如果兩天體只受相互吸引的重力作用,會如何在空間中運動?」牛頓把這個問題列入求解微分方程組的框架,這讓他能夠以各個天體在某個時刻的位置和速度共同決定它們未來的運動方式。在兩天體的情況下,牛頓完整解開了他的方程式,這些解通稱為軌道,都是圓錐曲線──圓、橢圓、拋物線或雙曲線。牛頓解出所有可能的兩天體軌道之後,推導出克卜勒(Johannes Kepler)行星運動定律,這是克卜勒在1609年發表的經驗定律,綜合他的雇主第谷(Tycho Brahe)生前數十年的天文觀測數據。克卜勒第一定律說明,行星或彗星的軌道是以太陽為焦點的圓錐曲線,牛頓的解則指出太陽和行星軌道都是圓錐曲線,共同焦點位於兩天體質心。由於太陽質量遠大於任何行星,因此太陽-行星系統的質心位於太陽內部,非常接近太陽本身的質心,運動時太陽質心會沿著微小的橢圓軌道繞行系統質心。


如果把兩天體改成三天體,就是所謂的三體問題。如前所述,三天體的軌道也是某個微分方程組的解,然而這個微分方程組很困難,在一般情況下根本找不到解析解。儘管有現代電腦協助,以及數世紀以來最卓越物理學家和數學家的研究,直到近年我們仍只知道五道三體運行軌道的解析解:三道由歐拉(Leonhard Euler)在1767年發現,兩道由拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)在1772年發現。而在1890年,龐卡赫(Henri Poincare)在三體問題中發現混沌動力系統的特性,這意味著我們永遠無法以牛頓雙體問題的精細程度求出三體問題的所有解。不過我們仍能把三體運行軌道切分成有限段落,透過所謂的數值積分,運用電腦高效率計算出近似軌道,這正是太空計畫不可或缺的一環。而只要拉長電腦的計算時間,便能得到更準確的近似軌道。


食數列


西莫的問題讓我說不出話,心想:「我當然在意,這個問題已經花了我20年的工夫。」事實上,我一直在關注的是平面三體問題中的一個特殊問題:


是否所有的週期性食數列,都代表了平面三體問題的一個週期解?


解釋如下:想像平面上標示為1、2、3的三天體(恆星或行星)在重力作用下運動,其間偶爾會出現三天體共線,稱為「食」(eclipse,專業術語稱為syzygy,這是個在英文填字遊戲裡讓人抓狂的字)。如果依照共線時居中的天體把該食記錄為1、2或3,並依照時間記錄每次發生的食,所得的數列就稱為食數列。


以經過簡化的日地月系統為例,月球(天體3)每個月繞行地球(天體2)一周、地球每年繞行太陽(天體1)一周,由於這個系統的運動具有週期性,因此食數列會出現週期模式,也就是232323232323232323232323……,此食數列不會出現1,因為太陽永遠不會運行到地球和月球中間。每過一年,食數列會增加24個數字,每個月各增加一個2和3。


食數列不一定具有週期性,甚至可能永遠不會出現可辨識的模式。但若三體問題的一個解具有週期性,那麼其對應的食數列數字就會重複,例如日地月系統週期是一年,食數列每隔一年就會出現相同的24個數字。回到我的問題:「是否所有的週期性食數列,都代表了平面三體問題的一個週期解?」我猜答案是肯定的,但是還無法證明。......