測量體積和面積時，可能得到的數值，是以所謂的「普朗克長度」（Planck length）為單位。這個長度與重力的強度、量子的大小和光速都有關。它標示了空間幾何不再連續的尺度。普朗克長度非常微小：10^-33公分。非零的最小可能面積，就是普朗克長度的平方，也就是10^-66平方公分。而非零的最小體積，則是普朗克長度的立方，10^-99立方公分。因此，理論預測，每立方公分的空間裡，約有10⁹⁹個空間量子。空間量子之微小，小到一立方公分裡的空間量子數目，竟比整個可見宇宙所包含的體積（10⁸⁵立方公分）還多。

自旋網絡

關於時空，我們的理論還告訴了我們什麼？首先，這些體積與面積的量子態看起來像什麼？空間是由一堆小方塊，還是小圓球所組成的？答案是：都不是，沒有那麼簡單。話說回來，我們還是可以畫出代表體積與面積量子態的圖示。對於研究這個領域的同行來說，這些圖示非常漂亮，因為它們能連接到一個優雅的數學分枝。

要看這些圖示怎麼運作，可以想像我們有一塊形如正立方體的空間，如右頁圖所示。在我們的圖示中，我們以一個點來描述這個正立方體，它代表一個體積元，還有六條線向外伸，每條代表正立方體的一個面。在這個點旁邊有一個數字，是用來標記體積的大小，而每條線旁邊的數字，則標記著這條線所指表面的面積。

接著，假設我們在正立方體的頂面擺一個金字塔。這兩個共用同一個面的多面體，就用兩個點（兩個體積元）和兩點之間連結的一條線（代表兩個多面體鄰接的面）來表示。正立方體還有其他五個面露出來（五條向外伸的線），金字塔則有四個（四條向外伸的線）。很清楚的，除了正立方體與金字塔，含有其他形狀多面體的更複雜排列，都可以用這些點線圖示來加以描述：每個多面體的體積變成一個點，或稱「節點」，多面體的每個平面則變成一條線，而連接節點的線，就代表多面體之間鄰接在一起的面。數學家便把這些線條圖示叫做「圖」（graph）。

現在，在我們的理論中，我們把多面體的形象丟掉，留著圖就好了。描述體積與面積量子態的數學會給我們一套規則，讓我們知道節點和線要怎樣才能連接，以及圖裡頭哪裡可以放什麼數字等等。每個量子態都對應到其中一個圖，而每個合乎規則的圖也對應到一個量子態。對所有可能的空間量子態來說，圖是一種很方便的速記法（量子態的數學與其他細節太複雜了，沒有辦法在這裡討論；我們最多只能展示一些相關的圖示而已）。

比起多面體，圖是一種比較好的量子態表示法。尤其是，有些用奇怪方式連接的圖，並不能轉換成整齊的多面體圖案。比如說，要是空間是彎曲的，不管我們用任何畫法，都不能把一堆多面體適當地嵌合在一起，可是，我們還是很容易把圖畫出來。的確，我們可以拿出一個圖，然後由它算出空間的扭曲程度。由於空間的扭曲就是重力的來源，這些圖示便構成了重力的量子理論。

為了簡單起見，我們通常把圖畫成二維的，不過最好還是把他們想像是充填在三維空間中，因為那正是它們所代表的。但這裡有個觀念上的陷阱：圖的線和節點並不是存在空間中的特定位置上。每個圖的定義，要視各個單元連接在一起的方式，以及它們與一個定義良好的邊界（如邊界B）之間的關係。你用來想像「圖」的三維連續空間背景，並不能當做獨立於圖之外的一個實體。線和節點就是所有的存在；它們就是空間，而它們連接的方式就定義了空間的幾何。

這些圖叫做「自旋網絡」（spin network），因為它們上頭標示的數字，和一種叫做「自旋」的量有關。這是英國牛津大學的彭若斯（Roger Penrose）在1970年代早期首先提出，而自旋網絡也許會在量子重力的理論中，扮演某種角色。1994年，當我們發現我們的精確計算與他的直覺不謀而合時，不禁雀躍萬分。熟悉費曼圖（Feynman diagram）的讀者，應該已經注意到了，我們的自旋網絡並不是費曼圖，儘管它們從表面上看起來十分類似。費曼圖表示的是粒子間的量子作用力，是從一個量子態進行到另一個量子態的；而我們的每個圖代表的卻是某個空間體積與面積的固定量子態。

圖裡頭個別的節點與邊線，代表的是空間的極小區域：一個典型的節點代表一個大小約為一個普朗克長度立方的體積，一條典型的線則約代表一個普朗克長度平方的面積。不過原則上，對一個自旋網絡的大小和複雜度，我們的理論並沒有任何限制。如果我們能畫出一個我們宇宙量子態的詳細圖像（亦即被星系、黑洞和其他物體的重力所彎曲的空間幾何），那麼，這個巨大的自旋網絡的複雜度是無法想像的，它的節點多達10184個左右。

這些自旋網絡能描述空間的幾何，可是包含在那個空間中的所有物質跟能量要怎麼辦？那些佔據空間中某個位置與區域的粒子與場，我們該如何表示呢？粒子（如電子）對應的是某些型式的節點，可在節點上加註更多的標記來表示；場（如電磁場）也可在圖中的線上加註額外的標記來表示。至於粒子與場在空間中的移動，則以這些標記在圖上一步步的跳躍來表示。