科學人雜誌
形上集

牛頓定律不能算是相對論力學的特例?

2021-06-01 高涌泉
就數學結構而論,不可共量性有其弱點。


我在2021年5月號專欄「形上集」中反對孔恩在其名著《科學革命的結構》(以下簡稱《結構》)中的一些陳述,有朋友提醒我孔恩其實已經在書中回應了我對於「不可共量性」的質疑。我之前是想利用一般人都應該可以理解的情境(地心說vs.日心說),以及孔恩非常鮮明的句子,來讓大家明白若從數學結構的角度看,「不可共量性」有其弱點。至於朋友所說孔恩於書中的反駁,涉及的是質量的概念,比較抽象一些,但也常被人引用來說明不可共量性,所以讓我在此解析一番,做為我對於孔恩的反駁的回覆。


孔恩在《結構》第九節〈科學革命的本質及其必要性〉中提出這麼一個問題:「牛頓動力學真的能從相對論動力學推導而得嗎?」孔恩當然知道物理學家的答案是肯定的。所以他這麼說:「設想有一組陳述,E1, E2, ..., En,合起來構成了愛因斯坦相對論的定律,這些陳述含有一些變數與參數,例如位置、時間、質量等」,接著他又說:「我們現在對這組陳述加上一些條件,例如(v/c)2<<1,以限制變數與參數的範圍;這組受到限制的陳述可以整理成一組新的陳述N1, N2, ..., Nm,它們在形式上和牛頓的運動定律與重力定律等等一模一樣,很明顯地,我們能夠在一些極端條件下,從愛因斯坦動力學推導出牛頓動力學。」


孔恩以上的描述,完全符合物理教科書的說法。然而接下來他這麼說:「雖然N1, N2, ..., Nm是相對論力學定律的特例,但它們並不是牛頓定律!」他怎麼會這樣說?大家可能要困惑了。原來孔恩想要強調的是這回事:出現於E1, E2, ..., En中的變數與參數也同樣出現在N1, N2, ..., Nm中,顯然它們仍然具有愛因斯坦理論所賦予的物理意義;但原本古典牛頓定律中也帶有同樣名稱的變數與參數,它們的意義卻與N1, N2, ..., Nm中參數、變數的意義完全不同!所以對於孔恩而言,N1, N2, ..., Nm與牛頓定律形似而神異,兩者有本質上的差異!


以質量這個概念為例,孔恩說牛頓的質量是守恆的,而愛因斯坦的質量可以轉換成能量,兩者「絕不相同」。除非我們修改質量的意義,否則我們無法從愛因斯坦理論推導出牛頓定律。孔恩的堅持不是沒有道理,但我覺得只是次要的事,因為它並不妨礙理解E1, E2, ..., En與N1, N2, ..., Nm關係的物理學家,在牛頓理論與愛因斯坦理論間自由進出。


讓我用一個例子來補充說明。在電磁學中,我們以馬克士威方程式來描述電磁場的一切可能現象。學生在學習電磁學之初,不會立即就學習完整的馬克士威方程式,而是從較單純的靜電場與靜磁場所滿足的方程式出發,來熟悉場的概念(所謂的靜電/磁場指的是不隨著時間變化的電/磁場),然後學生才接著學習電/磁場如果隨著時間而變,所應該遵循的規律,包括大家熟悉的法拉第感應定律等。我們可從馬克士威方程式推導出靜電/磁學方程式,只要加上電磁場不隨著時間而變的條件即可。這種狀況與之前所說由相對論方程式推導出牛頓力學方程式類似。


事實上,我們還可以模仿孔恩的說法,主張靜電/磁場與一般性的電磁場有完全不一樣的意義,例如靜電/磁場是固定的,而電磁波中的電場與磁場可以相互轉換(就像質量與能量可以互換)。所以我們若依循孔恩的立場,便只能說儘管我們可以從馬克士威方程式推得靜電/磁場方程式,但我們卻不能說馬克士威理論可以推得靜電/磁學定律!我相信大家可以看出這種說法根本沒有必要。


回到不可共量性的問題,我的觀點是孔恩以概念來辨別典範,誇大了典範間的斷裂。從前面的說明可知,孔恩也同意若就數學結構(方程式)而論,不同典範(例如牛頓力學與相對論力學)有很大的連結,這一點對於使用典範的科學家來講,才是重要的事,也是物理學統一性的來源。


延伸閱讀:《孔恩vs.費曼》

# 關鍵字:形上集牛頓定律相對論物理數學
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