科學人雜誌
不可勝數

歡慶3.14

2021/03/14 李國偉
圓周率π在數學中有奇妙的地位,其讀音與數值衍生出各式各樣的慶祝方式。


國際數學聯盟(IMU)是世界上最大的數學專業團體,每四年舉辦一次「國際數學家大會」,開幕典禮頒發有數學諾貝爾獎美譽的費爾茲獎。2017年4月IMU發函各會員國,徵詢是否贊成設立國際數學日。調查結果建請聯合國教科文組織訂定每年3月14日為國際數學日,預計2020年正式公佈世界通行。


至於3月14日是什麼特別日子呢?愛因斯坦是1879年的那天誕生,64歲的馬克思(Karl Marx)是1883年的那天過世,76歲的霍金是2018年的那天過世。然而數學史上的3月14日好像沒有發生過大事,挑選3月14日的理由只因為圓周率恰好為3.14......。


回想一下國小學習數學的過程,最先學整數0, 1, 2, 3, ......,然後學分數1/2, 2/3, ......,之後是小數0.125, 1.6, ......。這些數字的表示法都是精確的,但是到了學習圓形周長時,教科書會寫類似的話:如果圓的直徑是10公分,用繩子繞圓一圈,把繩子拉直後用尺量,大約是31.4公分。為什麼是大約呢?如果量尺刻度再細密一些,會不會量出精確的圓周長呢?國小老師碰到好問的小朋友,恐怕也很難圓滿回答。所以通常就讓學生背起來:圓周長對直徑的比值稱為圓周率,圓周率的近似值是3.14。


最近讀到台北市華江高中教師王亞薇的文章〈一個圓周率為5的世界〉。她教高中一年級直線斜率時,問學生知道哪些「率」,答案包括機率、圓周率等。她隨即問:「什麼是圓周率?」多數回答:「就是3.14啊!」她繼續追問:「但是圓周率到底是什麼?為什麼叫圓周率?」同學就回說:「是老師教的啊!」她說:「老師說圓周率是3.14,它就是3.14嗎?那我說圓周率是4或5,你們也沒有意見嗎?」之後學生一片靜默,直到一個小小聲音冒出:「好像跟圓周長有關。」圓周率是國小學過的概念,學生到高一只剩下背誦3.14這個數值,卻不知其所以然。


事實上,如果學生只知道3.14是圓周率的近似值,雖然在日常生活中夠用,但觀念上有缺陷。到底是如何近似呢?在3.14後面繼續增加位數,能不能寫出精確的圓周率呢?答案是否定,事實上無論展開多少位數,既不會出現循環段落,也沒有達到絕對精準。既然有限位數無法完整表示圓周率,那就只好用一個文字符號當代碼。1706年威爾斯數學家瓊斯(William Jones)率先使用π這個希臘字母來表示圓周率,因為希臘文的意思是周長,如今π已是國際通用的圓周率符號。


圓周率雖然是因圓周長與直徑相比得名,但是π在數學裡出現之處,很多似乎跟圓扯不上關係,這也是π讓人感覺特別神秘的緣故。舉例來說,18世紀法國布豐伯爵(Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon)提出著名的投針問題:假設地面鋪了長條木板(可想像成一組等距離的平行線),而你手上有長度剛好等於木板寬度(假設就是1)的針。現在把手上的針隨意丟向地面,請問針與木板間隙(或平行線)交叉的機率p是多少?雖然這個問題的敘述不見圓的蹤跡,但答案是p=2/π,也就是大約有64%的機率落到間隙上。


布豐投針問題雖然可以用微積分解決,但是不容易直觀理解圓周率在其中的角色。1860年法國巴黎高等師範學院的學生巴比耶(Joseph-Emile Barbier)給出讓人豁然開朗的證明,關鍵想法在於把求機率轉換為求期望值,再利用期望值滿足線性的特質,便能化繁為簡。簡要地說,首先把問題換成:「針與間隙的交叉數的期望值是多少?」相交的機率是p,交叉數為1;不相交的機率是1–p,交叉數為0。所求的期望值就是個別機率乘以交叉數後加總,剛好等於p。因為不同事件的期望值可以相加,那麼如果針的長度為N,則針與間隙交叉次數的期望值就等於Np。假如把長度為N的針折成多邊形丟到地上,那麼多邊形與間隙的交叉數期望值仍然是Np。圓內接正多邊形(代表折彎的針)邊數越多,則多邊形周長越接近圓周長。直徑為1的圓,周長為π,而它跟間隙交叉的情形只有一種可能性,就是交叉2次。於是當內接正多邊形邊數不斷增加、趨於極限時,期望值就滿足πp=2,也就是p=2/π。


以上的解說雖然在論證邏輯細節上不太嚴謹,但巴比耶富啟發性的思路,讓圓周率的出現褪去了神秘外衣。其實,布豐投針問題的答案也提供了一種計算圓周率近似值的實驗方法,這種實驗可以在課堂上實作,也可以透過電腦模擬來觀察。美國藝術家文特雷拉(Jeffrey Ventrella)製作了一個投針實驗的網頁,從他的模擬便可得知,用投針來估算圓周率的效率並不理想。


再舉一個圓周率奇妙出現的例子。有兩顆質量相等的球A與B,起始位置左邊有一堵牆,會阻擋它們沿水平軸線的運動。假設一切都在理想狀態,沒有摩擦力,球與球之間的碰撞也不耗損能量。一開始令A靜止不動,B向左等速滾動。當B碰到A時,B就靜止下來,而A向左滾動直到碰壁後折返,繼續滾動到再次碰撞B後停止,此時B便一路向右滾動不再停止。在這個過程裡,球與球、球與牆的碰撞總次數為3。如果開始時B的質量是A的100倍,第一次碰撞後,B仍然向左移動,但速度會變緩。從而導致A在牆與B之間要來回多次,最終碰撞的總次數剛好是31次。如果B的質量是A的一萬倍,同樣的實驗會造成314次碰撞。一般而言,如果開始時B與A的質量比是100的n次方,那麼碰撞次數恰好與圓周率π=3.141592653......重合到小數點後第n位。這裡沒有任何機率事件,是精準地逐位產生圓周率。這個計算圓周率的方法在概念上雖然新穎,但比布豐投針法更難實際操作。1990年代俄羅斯數學家加爾佩林(Gregory Galperin)到處講述他的發現,完整論文卻到2003年才公諸於世。數學愛好者桑德森(Grant Sanderson)在YouTube上的影片以方塊取代球,精采模擬了這個實驗。


因為圓周率π的讀音為Pi(派),有些國家會稱3月14日為Pi Day(派日)。首先倡議慶祝「派日」的是物理學家蕭(Lartry Shaw),1988年他在美國舊金山探奇博物館舉辦活動,想讓來參觀的小朋友加深對圓周率的印象。2009年美國眾議院通過決議案支持設立「派日」,希望鼓勵學校藉由慶祝活動改善數學教育。2015年的3月14日稱為「超級派日」,因為那天美式記日法寫做3.14/15,跟圓周率數值重合更多。當天9時26分53秒更讓π迷興奮不已,一個世紀只有這麼一次與π的數值重合10位。在網站「π的世界」有許多關於π的資訊,其中分頁「派日」包含各式各樣的慶祝方式......


# 關鍵字:數學πpi科學史
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