科學人雜誌
形上集

數學家辛格去世

2021-03-01 高涌泉
他原本念數學的動機,是為了要弄通物理。


今年農曆年假期間,我從網路得知大數學家辛格(Isadore M. Singer)於2月11日(台灣時間大年初一)過世,享耆壽96。由於我在量子力學課堂上,一定會向學生提到辛格從物理走向數學的經歷,聽到這個消息不無所感,便決定放下原先為本月專欄設想的主題,改介紹辛格的故事。


辛格在數學界的名望主要來自一項重要成就:他與英國大數學家阿提亞(Michael Atiyah)爵士在1963年發表的「阿提亞-辛格指標定理」(Atiyah-Singer index theorem)。這個定理除了連結了幾何、拓撲與分析這三個數學領域裡的核心概念,也與量子場論中一度令人費解、卻異常重要的所謂「手徵異常」(chiral anomaly)有密切關係,因此阿辛指標定理成了20世紀最關鍵、最有名的數學定理之一。


辛格與阿提亞兩人也因為這個定理在2004年獲得第二屆的阿貝爾獎(Abel Prize)。(此獎被視為數學界的諾貝爾獎,因為獲獎者都是數學大家;另一項也被視為大獎的「費爾茲獎」獎勵的是40歲以下的年輕數學家。)在指標定理之外,阿貝爾獎委員會還特別表彰兩人對於「搭建數學與理論物理之間橋樑」的傑出貢獻。


不過我在量子力學課向同學提到辛格,倒不是因為指標定理與手徵異常的關係(那是量子場論課的內容),而是辛格在大學階段主修的是物理學這件事。辛格的父母來自波蘭,一次大戰後先移民至加拿大,然後再移居到美國底特律市。在經濟大蕭條時期,辛格一家非常辛苦。雖然家境不好,但辛格一直是績優生,高中時期對科學產生興趣,還成了科學社社長,後來獲得密西根大學獎學金,於1941年9月入學。三個月後,美國投入二次大戰,他於是參加美國陸軍通訊兵團,但約定好只有在他畢業後才需入伍。由於他發現自己對於物理課程得心應手,便以物理為主修。他很快在兩年半後,即1944年1月,便自密西根大學畢業,然後入伍服役。


辛格在大學時期對於兩門課最感興趣與困惑:相對論與量子力學。他覺得自己的數學根基不足,以至於未能理解這兩門學問,便想於入伍期間好好鑽研數學。於是他在菲律賓服役時,就選修了芝加哥大學提供的微分幾何與群論的通訊課程,當同袍在晚上打撲克牌娛樂時,他一人就在做習題。退伍後,他進入芝加哥大學的數學研究所,想要多學些數學,一年後再回來弄通物理。沒想到他發現數學太美妙了,也就留下來不回頭了。(辛格在芝加哥大學數學所最後一年上陳省身的課,受很大啟發,影響了他一輩子。)


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