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形上集

什麼是狄拉克所說的方程之美?

2020-08-01 撰文/高涌泉
狄拉克方程式是連包利也力有未逮的玩意兒。


我在7月號專欄「形上集」中提到,對於物理(現象、理論)有敏銳的感受似乎不是成為稱職物理學家的必要條件,反而某些沒有深刻專業知識的外行人能夠具有這種感受。不過對於物理的認識若要提升至另一境界,不可思議的感受與洞見倒是不可或缺的。量子力學大師狄拉克有一些經典例子值得拿出來談。


狄拉克在科普雜誌Scientific American1963年5月號發表了一篇文章〈物理學家自然觀的演化〉,裡面有句話常被引用:「一個方程式,與其能夠符合實驗,更重要的是要有美。」這句話顛覆了一般人對於科學的認知:科學追求的是真理,必須以實驗所呈現的事實為本。例如費曼在論及尋找物理新定律時,就曾強調無論你所猜測的定律有多麼美妙,只要與實驗不符,這猜測就是錯的,就必須拋棄,也就是說,當美與真有衝突時,科學必須取真棄美。狄拉克當然不能否認實驗是科學的最終依據,但是他卻還是要把美放在實驗之上,顯然另有深意。


要理解狄拉克的名言,首先要追究的是,他所謂的美到底是怎麼回事,因為美與實驗相比,顯然更為主觀,更不易捉摸,如何可以用來區分方程式的高下?狄拉克在1956年訪問俄羅斯莫斯科大學,受邀留下一句贈言,於是他在黑板上寫了「物理定律應該具有數學之美。」這句話比前述我引用的名言更明確地界定了他所謂的方程式之美,但還是不夠,因為數學之美依舊有些朦朧,例如畢氏定理是美或不美呢?終歸來說,美是一種感受,不適合當做劃分黑白的判準。


狄拉克在1963年的文章中舉了一個例子來支持他的論點,這是薛丁格告訴他的故事:薛丁格在發表他著名的(非相對論性)量子波方程式之前,其實曾先推得一個符合相對論性原理的方程,但是他發現從這個方程所解出的氫原子能譜與實驗不符,失望之下,薛丁格便擱下了這個方程,因而被他人搶先發表,以致於我們今天稱這個相對論性方程式為「克萊恩-戈登(KG)方程」。狄拉克認為薛丁格不應過早遷就實驗,而放棄KG方程,因為KG方程的解涵蓋了薛丁格方程的解,在非相對論性的近似下,兩個方程的能譜是一樣的。


KG方程的缺點是它忽略了電子自旋的效應,但是薛丁格方程的缺點更大,因為它不僅沒包括自旋,連相對論性效應也忽略了。狄拉克認為KG方程是一個美麗的方程式,儘管不完全適用於描述電子,但仍然是非常有價值的進展(KG方程用來描述無自旋的介子)。


不過薛丁格方程式有一個很大的優點,那就是它在時間這個變數上是一階微分方程(即方程式只涉及把波函數對時間取一次微分);KG方程沒有這個優點,因為它是時間的二階微分方程。為什麼這是重要的事呢?因為時間的一次微分方程意味著,我們只要知道某個時刻的波函數,就可以由一次微分推導出爾後任何時刻的波函數。(若是二次微分,我們還需額外知道某時刻波函數的一次時間微分才行。)量子力學就是建構在這樣的假設之上。



(狄拉克方程式)


在薛丁格方程確立之後,多數人以為只要加上自旋效應,KG方程即是電子遵循的相對論性方程式,例如波耳就這麼想。不過狄拉克、包利等少數幾人知道這是不足的。在這些人之中,只有狄拉克一人認定量子力學的數學基礎很穩固(這是他自己幫忙建立起來的!),所以相對論性電子方程一定是一階微分方程,他也因此尋得公認美麗的狄拉克方程式(參見上圖,其中的p0、p1等都是一階微分算符,α1、α2與β等是4×4矩陣。此方程自動將包括自旋在內,也預測了正子的存在。從狄拉克方程式的來歷看,我會說狄拉克認為的美包括理論架構的緊密度以及對稱性等要素。但這些要素也只有在狄拉克手裡才能發揮功能。


# 關鍵字:形上集物理數學狄拉克
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