形上集

巴比倫vs.希臘

2019-12-01 高涌泉
比起希臘學派有效率的教學方式,巴比倫學派探索式的學習更有迷人之處。


有些事情,你若無心,是視而不見的,後來時機來了,回頭望,才看見,這時感受倍加深刻。我讀書的時候,經常有些片段,好像是看過了,卻沒有留下印象,等到不知多久之後,因為某些機緣,才了解並佩服作者的見解。


費曼於1964年底在美國康乃爾大學以「物理定律的特徵」為主題,給了一系列通俗科學演講,逐字稿後來整理出版,成了科普名著(台灣書名為《物理之美》)。書中第二章談論數學與物理學的關係,裡頭有一段話,我簡譯如下:「有兩種看待數學的方式,一種我稱之巴比倫傳統,另一種我稱之希臘傳統。巴比倫學派的學生學習數學的方式是演練一大堆例子,直到掌握通則。所以他會知道很多幾何,例如一些圓的性質、畢氏定理、三角形面積公式;他們也要知道一些論證,以便把這些東西串起來;另外還要會利用數值表來解決複雜的方程式,一切都是為了計算。但是歐幾里得發現可以從簡單的少數公設推論出所有定理。巴比倫數學的觀點則是你知道所有的定理,以及它們之間的關係,但是絕不會去追究這些是不是全部來自少數公設。」


費曼說現代數學走的是希臘路線:當代數學家傾向選定某些基本公設,以此為本去建構數學體系。但他說物理學需要的卻是巴比倫方法,而不是希臘或歐幾里得方法,理由是現在的物理學尚未掌握所有的定律,所以還不適宜認定某個公設是最好的出發點,不同的公設各有其優缺點。


為什麼我會關心起「巴比倫vs.希臘」的問題?主因是我幾年前首次開授大學部的量子物理課,在此之前我只曾開授過研究所的量子力學課。這兩門名稱很接近的課程有何區別?量子力學這門學問有本經典教科書,那就是量子力學開創者之一狄拉克所著的《量子力學原理》。本書第一章名為「疊加原理」,內容是量子力學基本原理以及相關的數學概念與架構(即向量空間),爾後章節則說明由原理出發所推論出的各種結果。明顯地,狄拉克採用了費曼所稱的希臘傳統。這種由上而下的進路是很有效率的教學方式,一切都是相當明確的數學推導,台灣學生很習慣也很喜歡這樣學東西。


至於量子物理則是開設給大三學生修習的入門課,這門課是向學生介紹種種奇怪的量子現象,以及物理學家到底如何透過歸納、猜測與推論把這些現象整合成一個架構,換句話說,就是解說量子力學的起源。所以我在量子物理課所採用的是由下而上的進路,這種進路在精神上當然是巴比倫式的。所以儘管量子物理課與量子力學課在內容上有所重疊,但兩者的趣旨卻相當不同,而我覺得前者比後者更有意思,因為量子現象的發現往往出人意料,歸納與猜測也要靠講不清的靈感,這正是物理學迷人之處。然而有些學生卻對這種探索式的學習不耐煩,他們希望老師快一點說明數學答案,不必把重點放在問題的由來。


我常向學生說,物理學和數學的差異在於物理學得時常面對不合過往邏輯的發現。費曼的仰慕者戴森在一篇文章〈鳥與青蛙〉中說,科學研究有兩大傳統,代表人物分別是笛卡兒與培根:笛卡兒強調以純思維推論出自然定律,傾向這種主張的人是「鳥」,因為他們喜歡飛翔於高空,瞧出各種現象背後的一貫之道;培根重視觀察自然現象,傾向這種主張的人是「青蛙」,因為他們貼近地面,注意各種細節。笛卡兒顯然屬於費曼的希臘傳統,而培根則屬巴比倫傳統。若和廣為人知的「刺蝟與狐狸」隱喻相比,鳥與刺蝟相近,青蛙則類似狐狸。戴森說他自己是青蛙,也曾說過費曼是狐狸。


戴森說20世紀數學界著名的布爾巴基學派是笛卡兒觀點的極端展現,和培根進路相比,這個學派欠缺「驚奇」。戴森給了一些例子說明數學中「不合邏輯的跳躍」。我先前沒注意戴森這麼說,後來才認知,頗有所感,不過我也注意到戴森的例子都來自物理學。


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