教科書之外

大自然不跳躍

沒有事情是突然發生的,大自然不跳躍,這是我最重大和最堅定的信條之一。——萊布尼茲(Gottfried Willhelm von Leibniz,德國數學家)

撰文/、插畫/陳文盛
2019-10

教科書之外

大自然不跳躍

沒有事情是突然發生的,大自然不跳躍,這是我最重大和最堅定的信條之一。——萊布尼茲(Gottfried Willhelm von Leibniz,德國數學家)

撰文/、插畫/陳文盛
2019-10


1970年我進入美國德州大學達拉斯分校攻讀分子生物學博士,一開始就和未來的指導教授發生爭辯。


我們是第一屆的研究生,只有六位,可以選的指導教授大約有一打。每位教授最多只能指導一位研究生,我們必須等一學期的輪習之後才決定。我最屬意所裡最嚴格的德國教授漢斯.布瑞摩爾(Hans Bremer)。


第一學期的分子生物學第一堂課,漢斯就發給我們一張考卷,題目都是基本的數學、物理和化學問題,就是要考我們的基本程度。其中有一題是圖解分析:他給我們一幅汽車里程圖(漫畫中左圖),要我們從它導出速度圖(右圖)。看起來很簡單:第一個小時車子等速跑了10公里,車速就是10公里/小時;第二個小時車子等速跑20公里,車速20公里/小時;第三個小時車子等速跑40公里,車速40公里/小時。所以我在加速度圖中0到1小時的地方畫一條對應Y軸10公里/小時的橫線,1到2小時處畫一條20公里/小時的橫線,2到3小時處畫一條40公里/小時的橫線。然後我在這三條橫線間用垂直虛線連接起來,成為一條連續的階梯形線條。


考卷發回來,漢斯用紅筆把三條橫線間的連結線都畫叉叉。他告訴我說:左圖中顯示的車程速度(斜率)沒有顯示漸進的改變,所以速度的改變是跳躍式的,不應該有連接線;意思是我畫蛇添足。我反駁漢斯,跳躍性的速度改變是不可能的。從10公里/小時加速到20公里/小時不可能是瞬間的。加速(速度差/時間差)如果是瞬間的(時間差=0),那加速所需要的能量將是無限大(因為分母是0),所以從10公里/小時加快到20公里/小時,期間必須有一段(即使是極短)時間讓速度連續上升,不可能直接跳躍上去。加速可以很快,但必定是連續的(右圖中的虛線)。


我後來才體會到,我那時說的是17世紀萊布尼茲講的「連續性原理」。後來萊布尼茲就是從連續性原理的觀念發展出微積分(牛頓在英國也獨立發展出來)。


如果加速必須是連續的,我們如何知道它瞬間的變化呢?從萊布尼茲的眼光,我們可把時間分割成小段,再繼續無窮分割,一直到無窮小量,然後來計算這無窮小量時段的速度。處理這樣無窮小量的極限變化的數學就是微積分。萊布尼茲和牛頓都用這樣的無窮小量發展微積分,但無窮小量不是標準的數,它不等於0,只是要多小就有多小。微積分的使用受到正統數學家的批評和攻擊,經過了相當長的時間和努力,微積分才得到崇高的數學地位,促成幾乎所有現代科學和工程學的突破與成長。


漢斯的考題,實際而言,那左圖並沒有明確表示速度的變化是否完全突然(有折點),或是漸進(沒折點)。前者雖然只存在理論狀況下,應該是漢斯的本意,所以他的標準答案是跳躍的加速度改變。而我則從實際的角度看,左圖的速度改變雖然很快,但不會是跳躍的,因此我覺得三個等速之間的變化應該是連續的。


學期過後,我和一位女同學蘇珊都填志願希望進入漢斯的實驗室,漢斯選擇了我,改變了我的一生──連續性地。