反重力思考

愛上微積分

微積分、結石、起司,有什麼關係?

撰文/米爾斯基(Steve Mirsky)
翻譯/周坤毅

反重力思考

愛上微積分

微積分、結石、起司,有什麼關係?

撰文/米爾斯基(Steve Mirsky)
翻譯/周坤毅


偉大的希臘科學家、工程師與數學家阿基米德,曾留下兩句千古傳誦的名言。據說,他在研究槓桿原理時說出:「給我一個支點,我就能舉起地球。」此外,他在泡澡時突然領悟到,把不規則物體沒入水中,測量排開的水量,便能得知物體的體積,當下脫口而出:「我發現了(Eureka)!」而成為經典名句。可惜的是,沒有證據顯示他曾說過:「給我一個支點,我就能好好洗個澡。」這種胡言亂語。


美國康乃爾大學應用數學系教授史特格茲(Steven Strogatz)在新書《無窮的力量:微積分如何揭露宇宙的秘密》中大力推崇阿基米德。如果你在讀完微積分課本後,發誓再也不碰這科目的話,不妨重新考慮。因為史特格茲在引言中表示:「我寫《無窮的力量》的目的,是希望讓每個人都能理解微積分的絕妙概念與故事。」他在整本書中詳細解釋微積分的基本概念,並敘述微積分發展的歷史背景,即使你跳過所有數學公式(你讀微積分課本時可能就這麼做過),也能享受閱讀的樂趣。


微積分的英文calculus來自拉丁文字根calx,意思是「小石塊」,這讓人想起很久以前人們曾用小卵石計數,此外醫生也用同一個字代表膽、腎與膀胱結石。我年輕時學過微積分,但直到讀了《無窮的力量》後,才得知17世紀發明微積分的兩大天才──牛頓與萊布尼茲,很諷刺地都在結石的極度痛苦中死去。牛頓患有膀胱結石,萊布尼茲則有腎結石。可見當你抱怨學微積分簡直要人命時,絕非誇大其辭。


微積分探討許多關於曲線的問題,而史特格茲筆下的微積分發展過程也同樣曲折離奇。毫無疑問,牛頓與萊布尼茲促成了這個領域的長足發展,但在那之前,微積分的雛形早已顯現。史特格茲寫道:「對我來說,自從阿基米德發明無窮的概念後,微積分便誕生了。」


阿基米德在晚年是如何學會庖丁解牛?他與徒弟使用史特格茲所謂的無窮大原理:「如果想解析任何連續的形狀、物體、運動、過程或現象,不管表面看起來多麼古怪複雜,只要把它想像成無窮多個簡單的部份,加以分析後再把結果相加,便能理解原先的整體。」


阿基米德利用無窮大原理算出圓周長(直徑乘以圓周率):他把圓周想像成無數條無窮短的直線,先從六條直線開始,得到圓周率為3;當直線數目增加到96,便能得到圓周率介於3+10/71與3+10/70之間。對於在羊皮紙上計算的阿基米德來說,已經相當了不起了。


幾千年來數學的進步,促成人類科技的現代化。史特格茲寫道:「如果沒有微積分,就沒有手機、電腦、微波爐、收音機或電視,孕婦不能照超音波,迷路的旅客也沒有全球定位系統(GPS)可用。我們無法裂解原子、解開人類基因組的奧秘,或把太空人送上月球。」


感恩微積分!讚歎微積分!你只需微波爐、平板電腦與一些起司碎屑,便能以驚人的精確度估算光速,這道食譜寫在《無窮的力量》第10章〈製造波動〉。做完實驗後,你還能把起司吃掉以補充鈣質(calcium),這個字也源自於calxcalx的字源則是用於修補裂縫的填料(caulk),當你得到震驚世界的發現而興奮地打破浴缸時,這種材料會派上用場。