不可勝數

數學小子S問幾何先生G輔助線

- 從「天外飛來」的輔助線,洞察幾何學的基本精神。

撰文/張海潮

不可勝數

數學小子S問幾何先生G輔助線

- 從「天外飛來」的輔助線,洞察幾何學的基本精神。

撰文/張海潮


 S:我想請教您一個問題,在做幾何證明的時候,為什麼經常要畫輔助線?這輔助線是從天上掉下來的嗎?
G:當然不是,對初學幾何的人來說,輔助線的確像天外飛來。即使是你的數學老師,通常也說不出個所以然來,他可能會告訴你這是經驗。
S:是呀!解題時要畫的輔助線就是那幾條,我也早就背得滾瓜爛熟……
G:我舉一個實際的例子好了,所有學幾何的人第一個碰到的輔助線就是在證明「等腰三角形兩底角相等」的時候,要畫一條頂角的角平分線。你能理解為什麼要畫這條輔助線嗎?




S:那是因為這條角平分線把原本的等腰三角形分成左右兩個全等的三角形,因此可以證出角A等於角B。
G:是的,如果回到原來還沒有畫分角線的時候,你會覺得幾乎無法進行論證,但是AC=BC這個條件強烈暗示了三角形ABC應該有一個左右對稱的關係,角平分線正是我們重現的對稱軸。
S:您可以再舉一個例子嗎?
G:幾何上有一個經常應用的30°-60°-90°定理,是說:「三個角分別是30°,60°,90°的直角三角形斜邊長是最短邊的兩倍」。




證明的方法是以BC為對稱軸,將AB反射到BC的右邊,如此便得出一個正三角形ABD,因此AB=AD並且是AC的兩倍,這也是利用輔助線重現對稱的例子。
S:對稱之外,有其他的例子嗎?
G:在回答你的問題之前,我們應該回過頭來想想幾何學的本質。如果你能夠洞察幾何的基本精神,也許就會比較清楚自己在做什麼。難道你不覺得這才是學習的重點嗎?
S:沒錯!不過我們老師都是從做題目開始教。
G:解題是必須的,但解題之前總要能仔細分析,基礎還是在掌握幾何的本質。幾何的本質不外乎平行、垂直和對稱;基於這三個性質所發展出來的定量工具則有畢氏定理、面積公式、相似形成比例定理。通常對稱用來決定全等關係,平行用來決定相似關係,垂直和平行則互為表裡。
S:那麼圓呢?
G:圓屬於旋轉對稱,許多圓的性質都是旋轉對稱的結果,比方說弦長相等則對應的弧長也相等。你如果用心的話,應該會發現任何一個旋轉都是由兩次鏡射得到,這也是為什麼鏡射對稱比旋轉對稱更為基本的原因。回到你原先提到的問題,我再舉一個例子,圖中AD是分角線,要證明AB/AC=DB/DC




顯然DB/DC這個比值正是三角形ADB和三角形ADC的面積比,因此一個恰當的輔助線是由D點向兩邊各做一條垂線,由於三角形ADB和三角形ADC的面積分別是AB.DE和AC.DF,又因為DE=DF,所以面積比也等於AB/AC,這是一個利用垂線與面積的關聯來做輔助線的例子。
S:您說得太有道理了!但是您能保證所有的輔助線都是基於這些基本性質做出嗎?身為幾何先生,您能掌握所有的輔助線嗎?
G:你的問題非常尖銳,你應該聽過中國一個古老的諺語:「有狀元徒弟,無狀元師父」,只可惜我已經過了考狀元的年紀囉!