不可勝數

無窮面貌多

- 細數無窮:潛在的無窮、相對的無窮、真正的無窮大、無窮小、無窮的逼進、無窮小數……

撰文/曹亮吉

不可勝數

無窮面貌多

- 細數無窮:潛在的無窮、相對的無窮、真正的無窮大、無窮小、無窮的逼進、無窮小數……

撰文/曹亮吉


1、2、3......這個數數的系統是潛在無窮的:每當你數到某一數,總有下一個數等著你去數。傳說釋迦牟尼曾參加一個競賽,主試者要考他能數到多大。當時印度人從一千(10的3次方)之後,採百進位,亦即每一百倍就給一個位名,如此便能數到一千萬(10的7次方;一億就是十千萬)。於是釋迦牟尼就從10的9次方開始,為每個10的奇次方取一個位名,而數到10的421次方。可以想見,印度人深深了解數數系統的潛在無窮性。


歐幾里得的《原本》說質數有無窮多,其證明大要為:假設a1、a2......an都為質數,考慮一正整數a=a1a2......an+1,它一定有一個質因數(任何大於1的正整數都有質因數),但此質因數絕對不是a1、a2......an中的任何一個,因為以它們除a都餘1。所以a的這個質因數是有別於a1、a2......an的新質數。由一群質數,可以找到另一個不同的質數,所以質數是潛在無窮的多。


我們常說正整數有無窮多、質數有無窮多,但在希臘人眼中兩者都是潛在無窮多;他們不把所有的正整數或質數擺在一起看。擺在一起看,認定其個數為無窮大(真正的無窮大)則屬於集合論,要到19世紀才登上數學的舞台。


人的腦袋可以思考潛在的無窮多(大)、真正的無窮多(大),但一個人身邊的事物卻是有限的。阿基米德說宇宙中的沙粒雖然很多很多,但絕對不是潛在的無窮多,更不是真正的無窮多。他說這些沙粒數是可以數出來的,他的答案是10的63次方。雖然如此,這樣的沙粒數已超過一般人的想像。我們說這是相對的無窮多。


「圍棋有無窮的變化」、「他有無窮的精力」、「這讓人有無窮的想像」都在形容數量之大,非比尋常,不可勝數,都可稱為相對的無窮多(大)。


相對於無窮大,無窮小也讓人困擾不已。時間及空間都可一再分割下去,或者都有最小的、不可再分割的組成單位?若是前者,那麼「最後」會剩下什麼?若是後者,那麼組成單位的一半又是什麼?煩惱之餘就說「最後」剩下的是無窮小,或者組成單位是無窮小。無窮小就是比任何數量都要小,但也不為零的數量;這真是矛盾的說法。


雖然弄不清楚無窮小是什麼,微積分卻靠著它發展起來:變數做無窮小變化,相應函數值也起了無窮小變化,兩無窮小變化量之商就是微分。將函數值乘以變數的無窮小變化量,然後做累積,就是積分。後來的發展,無窮小不看做固定的量,而是看做變動的量,它以零為極限。相對於潛在無窮大,這種動態的無窮小可看成是潛在的無窮小,而微積分也就有了穩固的邏輯基礎。


人類有了正整數之後,自然會有分數。但後來發現分數不夠用,有些數無法以分數表示(即無理數),譬如圓周率π。於是一種無窮逼進的想法就出現了:半徑為1/2的圓,周長為π,它比圓內接正n邊形的周長πn稍大,但π-πn會隨著n變大而趨近於0(亦即π-πn是種潛在的無窮小)。所以計算πn之值,就可得π之近似值,且n越大越準。我們說數列πn無窮逼近於π,我們也可以利用πn的十進位表示法,把π寫成為十進位的無窮小數3.14159......。運用微積分,可以把許多無理數,譬如2的平方根、2的對數值、20度的正弦值等,以(無窮)小數表示出來。


π=3.14159......表示圓周率可用無窮小數表示,位數越多越逼近π值;它需要無窮位的小數才能無窮逼近π值。我們用了「......」,表示有必要時可寫出更多位小數,是種潛在無窮的表示。一般人只要知道π值的頭幾位小數就夠了,但有人用電腦把π值計算到幾百億位小數,這是相對無窮多的位數。無窮所具有的各種面貌,在圓周率的身上似乎都見得到。