科學人雜誌
形上集

文科學生為什麼要學橢圓?

2010-05-01 高涌泉
- 橢圓的基本性質以及克卜勒的重大天文發現,是每個高中畢業生應該知道的事。


公元前380年代間,柏拉圖於雅典設立「學院」(the Academy),吸引了希臘有志青年前往學習哲學、倫理、政治等學問。據說當時柏拉圖學院門口刻有「不懂幾何者勿入」的警語。不論此說是否屬實,柏拉圖重視數學是無庸置疑的,證據即是他在其著名的對話錄中,多次論及數學,例如他在泰阿泰德(Theatetus)篇中便談及 3   5   17  等數字不是有理數,也在提瑪友斯(Timaeus)篇談到正四面體、正六面體等我們今天稱為「柏拉圖固體」的幾何形狀。難怪羅素在其名著《西洋哲學史》中會說到柏拉圖相信「沒有數學即沒有真智慧」,也認為只有受到良好教育的人才可能成為好的統治者,因此堅信一位好國王必須學習幾何。不過羅素倒也說今天我們會覺得「堅持教導年輕時期的戴奧尼斯(Dionysius,敘拉古的暴君)幾何是不明智的事。」


2010年3月9日,中華民國立法委員洪秀柱在質詢教育部長時,拿了三題橢圓與拋物線的題目考部長,根據報導洪委員「未給太多答題時間,部長也未解出答案。」此項質詢的動機是今年大學學測的數學科考倒不少考生,洪委員認為這種不恰當的事會出現是因為台灣高中數學教材太深、太難,與生活脫節,她還舉例:「台灣高中教橢圓的標準式、橢圓的參數式、拋物線的標準式、雙曲線的標準式等,反觀美國高中生,多數只學到二元一次方程式。儘管美國的中學生程度相對落後,但大學以後都補上來。」


我知道教育部長不會去管高中數學教了什麼,也回答不了為什麼所有高中學生都要學橢圓的標準式與參數式,我在意的是大學數學教授會怎麼回應立法委員的質疑。當然,對於理工科學生而言,他們進入大學後,橢圓、拋物線、雙曲線的標準式等可能是專業課程所需的先備知識,所以在高中研習這方面的數學似乎還說得過去。但是這種「橢圓是有用的知識」的答案,對於將來在大學的課程中不會碰上橢圓的文科學生來說,是不能成立的。那麼大學數學教授會怎麼答覆文科學生呢?


我猜想數學教授可以有以下幾種說法:一、如柏拉圖所說,數學是真理的一部份,「沒有數學即沒有真智慧」,既然學校的任務就是傳承真理,傳授幾何(包含橢圓)知識當然是必要的;二、雖然數學知識不見得樣樣都有直接用途,但卻是培養抽象與理性能力最好的工具,而抽象能力如數學家黃武雄所言是「人進入文明社會必要的能力」;三、現代各學科的知識相互滲透的情形很常見,誰也不能斷言橢圓的知識一定不會出現於傳統的人文學科,例如歷史、地理、心理,甚至是文學之中,所以長遠看來,橢圓的參數式對於文科學生可能還是有用的。


但是以上所列可能的答案,只說明了文科學生學習橢圓的標準式與參數式是好事,並未說明其必要性。首先,我們固然要教導真理(與智慧)給學生,但是真理太多了,不可能樣樣都要求學生知曉;其次,即便數學是培養抽象能力的好幫手,但是橢圓之外的其他數學題材(如排列組合)也可以有類似功能。


我的看法是關於橢圓,文科學生應該知道以下三事:一、希臘人對於橢圓所下的定義與基本性質──橢圓是一種圓錐截(或曲)線,即我們拿一平面斜著切過一圓錐面,則此平面與圓錐面的截線即是橢圓;二、橢圓上任一點與平面上某兩個(稱為焦點的)固定點的距離之和是固定值;三、克卜勒發現行星繞行太陽的軌道是橢圓,且太陽位於兩焦點之一。原因是從橢圓的定義證明其基本性質是有巧思但不困難的事,而克卜勒的發現是人類文明史上的大事,每個高中畢業生都應該知道。


總之,我認為得從文明史的觀點來尋找文科學生必須學習橢圓的理由。至於橢圓的標準式與參數式,文科學生就不必仔細學習了,反正一旦考完試,這些技術細節的東西,大多數人也就忘了。


# 關鍵字:形上集物理數學橢圓圓錐曲線教育
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