不可勝數

愛因斯坦的數學師友

閔考夫斯基的張量見解與葛羅斯曼的數學協助,支持了愛因斯坦完成廣義相對論。

撰文/張海潮
2016-01

不可勝數

愛因斯坦的數學師友

閔考夫斯基的張量見解與葛羅斯曼的數學協助,支持了愛因斯坦完成廣義相對論。

撰文/張海潮
2016-01


2015年是愛因斯坦發表〈廣義相對論的基本原則〉100週年,全世界各處都在紀念此事。眾所周知,相對論是愛氏獨立完成的時空/重力理論,因此愛氏的論文幾乎從不或很少提及別人的貢獻。倒是在這篇論文的前言裡,愛氏提到了兩位數學家,一位是在瑞士蘇黎士讀大學時的老師閔考夫斯基,另一位是大學的同班同學葛羅斯曼。


愛氏在蘇黎士聯邦工業大學(ETH)師範系讀書時經常缺課,每逢考試,愛氏就會求助於好同學葛羅斯曼,靠著葛氏的筆記總能過關,而在1900年8月順利畢業,畢業之後立刻失業。1902年6月,透過葛氏父親的推薦,愛氏到瑞士伯恩專利局謀得一個三職等技術員的職位。他在這裡工作了七年,直到1909年10月轉任蘇黎士大學理論物理學副教授。愛氏所有有關相對論的思想均在這七年成形。


閔考夫斯基在1902年離開ETH到德國哥丁根大學任教,因急性盲腸炎在1909年辭世。他的好友同事大數學家希爾伯特形容閔氏是上天送給凡間的稀世珍寶。現在看來閔氏遺留給這個世界最大的禮物,應該是整理了狹義相對論的數學結構,因而啟發愛氏找到正確的數學工具來發展廣義相對論。


愛氏在1905年提出狹義相對論時,只是一個默默無聞的專利局職員。可能是因為教過愛氏,閔氏注意到這篇劃時代的鉅作,因此在1907~1908年的數次公開演講,把愛氏論文中隱而未現的數學結構具體表達出來。


不只如此,閔氏還注意到磁場和電場合在一起構成一組二維的張量(一維的張量即向量),因此在慣性坐標系之間轉換時,只要應用張量在轉換時服從的規律,便可得到愛氏論文中磁場和電場複雜的轉換公式。換句話說,閔氏從張量的制高點來掌握1905年愛氏發表的狹義相對論。


有一度,愛氏覺得閔氏不過是在賣弄數學。但是當愛氏思索廣義相對論時,閔氏的張量切入對他有很大的啟發。狹義相對論不含物質、不涉重力,然而重力及質量分佈是廣義相對論的核心議題。1907年,愛氏發現了等效原理,即重力場等同於一個加速度系的坐標轉換,這樣的觀點逼使愛氏不能只局限於慣性坐標系的轉換,而必須納入所有可能的坐標轉換,因此張量變成最主要的數學工具。


愛氏在論文〈廣義相對論的基本原則〉的開場白說到:


下面所要論述的理論,……。用了閔考夫斯基所給予狹義相對論的型式,相對論的這種推廣就變得很容易。


真的很容易嗎?閔氏有一次對原子物理學家波恩談到愛氏的狹義相對論,他說:


這使我大吃一驚,因為愛因斯坦在學生時代是條懶狗。他一點也不為數學操心。


其實愛氏的數學能力極佳,只是他太專注於自然現象的思考,而忽略了高等數學的學習,例如張量和張量的絕對微分。不過,他很快理解到數學家黎曼、瑞奇、李維–西維塔等人發展出來的微分幾何和張量分析,知道這些主題必定可以支撐廣義相對論思想中、物質分佈如何決定彎曲的時空。此時,愛氏回到了母校ETH去找大學時代的摯友葛羅斯曼。在數學教授葛氏的協助下,愛氏邊做邊學,終於在1913年由兩人共同發表了〈廣義相對論綱要和重力論〉,論文分成物理學和數學兩部份,分別由愛氏和葛氏執筆,建立了廣義相對論的數學基礎。


此後,愛氏再度單飛,在1915年發表〈用廣義相對論解釋水星近日點運動〉,主要是利用1913年與葛氏合作的論文,計算了在太陽附近因時空的彎曲而導致水星軌道的偏移,接著發表本文一開始提到的1916年論文。在前言裡,愛氏先感謝了(老師)閔考夫斯基,然後他說:


我在這裡要感謝我的朋友數學家葛羅斯曼,他不僅代替我研究了有關的數學文獻,而且在探索重力場方程方面,也給我以大力支持。