物理

編結量子計算

量子位元的特殊性質,令科學家對量子計算興致勃勃。如果能再結合數學上拓撲的概念,或可創造出新的量子計算方式。

撰文/柯林斯(Graham P. Collins)
翻譯/高涌泉

物理

編結量子計算

量子位元的特殊性質,令科學家對量子計算興致勃勃。如果能再結合數學上拓撲的概念,或可創造出新的量子計算方式。

撰文/柯林斯(Graham P. Collins)
翻譯/高涌泉

鼓吹量子電腦的人向我們保證,這種電腦可以執行一般電腦無能為力的計算。在這一類只能依賴量子電腦的計算任務當中,有些具有很重要的應用價值。舉例而言,只要有電腦能夠在合理的時間之內,將很大的數字分解成其組成因數,就可以破解某些廣為使用的密碼系統。幾乎所有用於保護高度敏感資料的密碼系統,都會被某個量子算則所破解。


量子電腦為什麼有更強的計算能力?答案在於量子電腦所處理的資訊是以量子位元代表,而非普通位元。一個普通的古典位元只能是0或1;標準的微晶片架構很嚴謹地在執行這種古典二分法。但是相對而言,一個量子位元則可以處於一種所謂的「疊加狀態」,這是一種可以讓0的一部份與1的一部份共存的狀態。我們可以把可能的量子位元狀態看成是球面上的一點。北極代表古典狀態1,南極是0,所有介於兩者之間的點則代表0或1的所有可能疊加狀態(見2003年1月號〈奇妙的量子棋步〉)。量子電腦之所以具有特殊能力,原因就在於量子位元能夠自由地在整個球面上漫遊。


可惜的是,量子電腦似乎非常難製造。一般而言,我們利用局限於某個地方的粒子(例如單獨的原子離子或電子)的某些量子性質,來代表量子位元。但是它們的疊加狀態極為脆弱,只要它們和周遭環境(包括所有組成電腦的材料)有一點點不期而來的交互作用,那麼疊加狀態就會被破壞。如果量子位元不能和環境仔細地隔絕起來,這種干擾就會造成計算上的錯誤。


因此在設計量子電腦時,絕大多數將焦點置於減少量子位元與環境的交互作用。研究人員知道,一旦錯誤率可以降低到每一萬步計算約只會出現一次,修正錯誤的步驟就可以用於補償個別量子位元的衰落。可以運作的量子電腦需要含有大量的量子位元,而每個量子位元與環境的隔離必須好到讓錯誤率如前述的那樣低,建造這樣的量子電腦是極困難的工作,物理學家距離成功還很遙遠。


有一些研究者試圖走另一條很不一樣的路來建造量子電腦。在這個新辦法裡,脆弱的量子狀態所依賴的是物理系統的拓撲性質。拓撲是一門數學,它研究的對象是物體在平滑變形(例如伸長、擠壓、彎曲、但不得切斷或連接起來)之下仍會保持不變的性質。拓撲涵蓋的項目之一是扭結(knot)理論。微小的擾動並不會改變物體的拓撲性質。例如,一條弦綁成一個扭結的封閉迴圈,和沒有扭結的封閉迴圈相比,在拓撲上兩者是不同的(見65頁〈拓撲與扭結〉)。將沒有扭結的封閉迴圈變成一個封閉迴圈加上扭結的唯一辦法是切斷弦,綁出扭結,再將弦的兩端封起來。同樣的,要把一個拓撲量子位元轉變成另一種狀態,也非得利用類似的激烈方式不可,來自環境的一點點推擠是改變不了拓撲量子位元的。


乍看之下,拓撲量子電腦根本不像是個電腦。它用來計算的是結成絞辮的弦,而不是傳統意義上的實體弦。這種用於計算的弦是物理學家所稱的世界線,它所代表的是穿過時間與空間的粒子。(你可以這麼想像:這樣一條弦的長度代表粒子在時間軸上的運動,其厚度則代表粒子的實體大小。)此外,這種計算所牽涉到的粒子並非你最初可能想像的電子或質子。其實這種量子電腦所牽涉到的粒子是準粒子(quasiparticle),它是二維電子系統的激發態,它們的行為和高能物理中的粒子與反粒子很像。這些粒子還有個麻煩之處:它們是一種特別型態的準粒子,稱為任意子,具有建構量子電腦所需要的數學性質。


執行一次這種量子計算的過程大約是這樣子的:首先,創造許多對任意子,將它們沿著一條線排列。(見66頁〈拓撲量子計算的原理〉)每一對任意子就如同一個粒子與其反粒子,是純粹由能量所創造出來的。


其次,以明確的順序讓一對對相鄰的任意子彼此環繞。每一個任意子的世界線基本上就構成一條線,任意子這種對調的運動便製造出了一串這些世界線的絞辮。量子計算就藏在如此形成的特定絞辮裡。任意子的最終狀態存放了計算的結果,這狀態的性質取決於絞辮,而非任何偶然的電磁交互作用。同時絞辮是拓撲性的(把線搖動一下並不會改變絞辮),所以它在本質上就不受外界的影響。目前在微軟工作的基塔耶夫(Alexei Y. Kitaev)首先於1997年,提出以這種方式來利用任意子執行計算。


目前也在微軟從事研究的傅利曼(Michael H. Freedman)於1988年秋天在哈佛大學演講,主題就是利用量子拓撲進行計算的可能性。他在1998年發表了一篇研究論文,闡述了他的想法。傅利曼的想法奠基於一項數學發現:某些屬於「結不變量」的數學量,和二維曲面隨著時間而演變的量子物理有關。如果我們可以創造物理系統的某個狀況,同時對它做適當的測量,就可以約略自動計算出結不變量,不然我們就得透過傳統電腦執行冗長又不方便的計算。我們也可以利用類似的捷徑來執行同樣困難、但有實際應用價值的計算。


雖然這一切聽起來只不過是和現實無關的理論玄想而已,但是最近對於分數量子霍爾效應的實驗,已經讓任意子的想法比較扎實一些,研究者已經設想出更多的實驗以便執行初步的拓撲量子計算。


拓撲與扭結一個封閉迴圈(a)的拓撲不會因為扭曲成另一種形狀(b)而改變,但是會不同於帶有扭結的封閉迴圈(c)的拓撲。如果只是把迴圈扭來扭去,並不會造出扭結,我們必須切斷迴圈,綁個結,然後再把兩端接起來才能得到扭結(c)。由此可知,迴圈的拓撲不會受到微擾(如果只是扭來扭去)的影響。

任意子


前面提過,拓撲量子電腦藉由交換粒子的位置,來把粒子的世界線纏成絞辮。量子物理與古典物理的基本差異之一就在於粒子在對調之後,它們的狀態究竟為何。在古典物理中,如果你在位置A和B各放置一個電子,然後再對調這兩個電子,那麼兩個電子最後的狀態和初始的狀態並沒有什麼不同,原因是電子是不可區分的粒子,所以我們也無法區分最終狀態與初始狀態。然而在量子力學中,情況就不是這麼簡單了。


為什麼?因為量子力學是用波函數來描述粒子的狀態。這個函數涵蓋了粒子所有的性質,包括在各處找到粒子的機率、測量到粒子具有各種速度的機率等。譬如說,如果波函數在某個區域有很大的量值,則我們就比較可能在那裡發現粒子。


我們用一個共同的波函數來描述一對電子。當兩個電子交換之後,波函數會和原來的波函數相差了一個負號。這個改變將波峰變成波谷、波谷變成波峰。但波動的振幅大小不會受到影響。


事實上,兩個電子互換並不會影響兩個電子本身可以測量的量,真正受到影響的,是如何與其他的電子干涉。當我們將兩個波疊加起來,就會有干涉現象。兩個波相互干涉,若波峰和波峰落在一起,則波幅就會增高(此即「建設性干涉」);如果波峰和波谷落在一起,則疊加的波幅就會降低(此即「破壞性干涉」)。如果彼此干涉的兩個波之一改變了本身正負號(即此波函數多乘了-1這個因子),則此波的波峰與波谷就會對調,而將建設性干涉之處(一個亮點)變成破壞性干涉(一個暗點)。


電子並不是唯一會因為交換位置而改變波函數正負號的粒子,質子、中子、以及任何一個所謂的「費米子」也會如此。與費米子不同的另一大類粒子是「玻色子」,兩個玻色子對調時,它們的波函數維持不變,可以說此波函數乘上了+1這個因子。


數學上我們可以證明,三維空間中的粒子只可能是費米子或是玻色子。但是在二維空間,粒子卻不必然是費米子或是玻色子,它們還可能是「任意子」:當兩個這種粒子對調時,波函數會乘上一個絕對值等於1的複數(相位)因子。我們可以用角度來代表此複數因子:0度所對應的因子為1,180度對應的因子為-1,0度與180度之間的角度對應到某個複數。例如,90度對應到虛數i,即-1的平方根。就如同把波函數乘以-1不會影響個別粒子的可測量性質,將波函數乘上絕對值等於1的複數也不會影響個別粒子的可測量性質,因為那些可測量的性質只和波動的振幅大小有關。不過這項額外的複數因子卻可以改變兩個複數波相互干涉的情形。


任意子之所以稱為任意子,是因為任意一個複數相位因子都可能出現,而不是像玻色子或費米子那樣,只能多出+1或-1的因子而已。


平面上的電子


任意子只能存在於二維的世界;這麼一來,我們如何能夠在真實的三維世界中,製造出可用來執行拓撲計算的一對對任意子?答案在於量子粒子的平面世界。我們可以小心地製作兩片砷化鉀半導體,以使得一層電子「氣」能夠存在於界面上。這些電子可以在二維界面上自由運動,但是無法在垂直於界面的第三維空間上運動。物理學家已經仔細研究過這種電子系統(稱為二維電子氣),尤其是當系統在極低溫下並處於強磁場中的行為,因為在這些條件之下,電子氣會展現不尋常的量子性質。


例如,在分數量子霍爾效應中,電子氣的激發態就像是帶有不到一個電子電荷的粒子。其他的激發態則可以將磁通量完整帶在身邊,就好像這些磁通量是粒子的一部份。2005年,紐約州立大學石溪分校的高德曼(Vladimir J. Goldman)、卡密諾(Fernando E. Camino)與周威宣稱,他們已用實驗直接證明了出現於分數量子霍爾效應中的準粒子是任意子,對於用拓撲方式來從事量子計算而言,這是關鍵的一步。然而就這些準粒子是否真的具有任意子性質來說,仍有一些研究者還在尋找其他證據,因為某些非量子效應可能可以造成高德曼等人所看到的結果。



在二維世界中,當我們對調兩個粒子時,還得注意一個重要的新問題:粒子交換時,是循著順時針的路徑或是逆時針的路徑?波函數所獲得的額外複數相位因子取決於所取的路徑;這兩種路徑在拓撲上是不同的,因為我們無法在不讓兩條路徑交錯、不讓粒子相撞的情況下,連續地將順時針的路徑轉成逆時針的路徑。


建造拓撲電腦還有另一項困難:任意子必須是所謂「非阿貝爾式」(nonabelian),也就是說粒子對調時的先後順序是非常重要的。想像你有三個相同的任意子排在一起,分別位於A、B、C的位置上。首先,對調位於A和B的任意子;其次,對調現在位於B和C的粒子;最後的波函數會等於原始波函數乘上某個複數因子。假設我們反過來先對調位於B和C的任意子,然後才對調位於A和B的任意子;在這樣的順序之下,如果最後的波函數所乘上複數因子和前面第一種對調的方式一樣,則我們說任意子是「阿貝爾式」。如果波函數所乘上的複數因子取決於對調的順序,則那種任意子就是「非阿貝爾式」。(非阿貝爾式的性質之所以會出現,原因就在於對於這些任意子來說,波函數所乘的複數因子其實是個矩陣,而兩個矩陣相乘的結果本來就會取決於相乘的順序。)


高德曼等人的實驗所牽涉的是阿貝爾任意子。不過理論學家有很好的理由相信某些分數量子霍爾效應的準粒子是非阿貝爾任意子。科學家為了找出這個問題的答案,已經設計了一些實驗。其中一項實驗是由傅利曼與馬里蘭大學的達斯沙爾馬(Sankar Das Sarma)以及微軟的納亞克(Chetan Nayak)所提出的,並由以色列魏玆曼科學學院的史登(Ady Stern)與哈佛大學的郝柏林(Bertrand Halperin)提出了重要的改進。加州理工學院的基塔耶夫與邦德森(Parsa Bonderson)與現在任教於加州大學河濱分校的須騰格(Kirill Shtengel)也提出了另一項實驗。


絞辮與閘


一旦有了非阿貝爾任意子,就可以具體製造出所謂辮群(braid group)的表現。這種群的數學結構描述了將一排線編織成絞辮的所有可能方式。任何絞辮都是由一序列的基本運作所建造出來的,這個基本運作只牽涉到相鄰兩條線的順時鐘或逆時鐘運動。每一串可能的基本任意子運作都會對應到一條絞辮,反之亦然。此外,每條絞辮還會對應到一個非常複雜的矩陣,這個矩陣是每次任意子交換所對應的矩陣的總和。


現在我們就有了一切所需的要素,來了解這些絞辮究竟如何對應到量子計算。在傳統的電腦中,電腦的狀態是由所有位元的狀態(電腦暫存器中某一組特定的0和1序列)來代表。同樣的,量子電腦是由所有量子位元的狀態來代表。在拓撲量子電腦中,代表量子位元的是一群群的任意子。


在量子電腦中,我們用一個矩陣來描述從所有量子位元的初始狀態到最終狀態的過程──最終狀態即是這個矩陣乘上所有量子位元的總初始波函數。很明顯地,類似的事情也發生於拓撲量子電腦中:這時的矩陣是對應到某特定絞辮的矩陣,而絞辮來自於某一程序的任意子運作。所以,我們已經驗證了用任意子所執行的運作會導致量子計算。


我們還必須確認另一項重要的特徵:拓撲量子電腦是否能執行任何傳統電腦所能做的計算?傅利曼與印第安納大學的拉森(Michael Larsen),以及現在任職於微軟的王正漢三人,於2002年證明,拓撲量子電腦的確能夠模擬任何標準電腦的任何計算,只不過還有個小弱點:這種模擬是近似的而已。但是對於任何想達到的精確度(例如萬分之一)來說,都可以找到一條絞辮,能模擬所需要做的計算到那個精確度。所要求的精確度越高,絞辮擰轉的次數就越多。幸運的是,所需擰轉次數增加的非常慢,所以要達到非常高的精確度其實並不困難。可是傅利曼等人的證明,並沒有講清楚如何決定實際上哪個絞辮對應到計算,這要靠拓撲量子電腦的特定設計,尤其是所使用的任意子類別,以及它們和基本量子位元的關係。


2005年,弗羅里達州立大學的波奈斯蒂(Nicholas E. Bonesteel)與同校的同仁,以及在朗訊科技貝爾實驗室的合作者開始設法尋找從事特定計算的絞辮。這一研究小組明確說明了如何建構一個所謂的「控制反閘」(controlled NOT gate,簡稱CNOT gate),只要用上六個任意子,精確度即可達千分之二。一個CNOT閘有兩個輸入:控制位元和目標位元。如果控制位元是1,則CNOT閘會將目標位元從0變成1,或從1變成0;如果控制位元是0,則目標位元就不會改變。CNOT閘的網絡可以作用於量子位元上,我們只要用CNOT閘網絡以及另一項運算(將個別量子位元乘上複數相位因子)就能完成任何計算。這項結果也可以用來證實拓撲量子電腦能夠執行任何量子計算。


一般相信量子電腦可以執行古典電腦不可能從事的計算。可是拓撲量子電腦的計算能力可能比一般量子電腦更好嗎?傅利曼、基塔耶夫與王正漢三人證明了這是不可能的。他們證明傳統量子電腦可以有效率地模擬拓撲量子電腦的運算,同時有無限的精確度。也就是說,傳統量子電腦也可以執行任何拓撲量子電腦可以執行的計算。這個結果暗示了一項一般性定理:任何使用量子資源的計算系統,只要足夠高明,就具有完全相同的計算能力。(邱契與涂林在1930年代,曾提出了一個適用於古典電腦的類似命題。)


粒子進,答案出


我前面略過了建造實用拓撲量子電腦所需的兩個關鍵過程:在計算開始之前量子位元的初始化,以及最後結果的讀取。


初始化的步驟牽涉到造出一對對的準粒子,關鍵的問題是弄清楚所創造的準粒子的類別。基本的步驟是讓「測試任意子」繞過造出的準粒子對,然後測量這項步驟如何改變了「測試任意子」;它們的變化取決於它們所通過的任意子的種類。(如果測試任意子改變了,它就不能和其夥伴徹底地相互消滅。)不屬於我們需要類型的任意子對就會被拋棄。


讀取的步驟也牽涉到如何測量任意子的狀態。如果任意子相隔很遠,就不可能測量:任意子必須成對的拉近在一起才可以測量。約略地講,這個步驟就像是檢查任意子對是否可以消滅得很乾淨(就如同真正的粒子和反粒子對),還是消滅後仍會殘留下電荷與磁通量;任意子的狀態是從它們誕生之時很精確的反粒子關係編織而來的,檢驗的結果會揭露任意子的狀態在編織後究竟有何變化。


其實拓撲量子電腦也並非能夠完全免於錯誤。錯誤的主要來源是基底材料中的熱擾動,這種擾動可以產生多餘的一對任意子。這兩個任意子會和執行計算的絞辮交纏在一起,最後才相互消滅(見67頁〈防止隨機的錯誤〉)。幸運的是,拓撲量子電腦運作所需的溫度極低,在此低溫下,熱擾動受到抑制。此外,當多餘的任意子必須運動更遠的距離,才足以造成干擾時,這會引起錯誤的不良過程出現的機率會以指數函數的形式降低。所以,我們可以如此達成任何所需的精確度:建造一個夠大的電腦,同時在編織任意子的時候,讓這些工作的任意子相距夠遠。


拓撲量子電腦仍還在其嬰兒階段:基本的運作要素,如非阿貝爾任意子,尚待證實,最簡單的邏輯閘也還沒做出來。前面提過的傅利曼、達斯沙爾馬以及納亞克的實驗應可以達成這兩項目標──只要所涉的任意子的確如預期般的是非阿貝爾任意子,那麼他們的裝置就可以在量子位元狀態上執行邏輯上的反(NOT)的運算。傅利曼等三人估計此一過程的錯誤率會是10-30或更小。錯誤率為什麼能夠這麼小?因為當溫度下降而且尺度增加時,錯誤的機率會以指數函數的形式快速下降。是拓撲的結構成就了如此快速降低的錯誤率,在較傳統的量子計算辦法中,不能如法炮製。


由於拓撲量子計算有這種低得不得了的錯誤率(比當今任何其他量子計算方法所能達到的,還要低好幾個數量級),所以它變得非常引人矚目。此外,製造分數量子霍爾裝置的技術已經成熟,因為這些技術正是微晶片工業的技術。唯一的問題是這些裝置必須在極低溫(以絕對溫度單位而論,約為幾毫K)才能運作,因為只有這樣,神奇的準粒子才會穩定。


如果非阿貝爾任意子真的存在,那麼拓撲量子電腦就可能從後超越過傳統量子電腦,搶先將個別的量子位元與邏輯閘放大成為扎扎實實的機器,像是個名副其實的「電腦」。用量子結與量子辮來計算,最初只是另一種奇妙的方案而已,但是對於實現實際可行又沒有錯誤的量子計算而言,這種辦法卻可能成為標準方式。