物理

量子物理不可解問題

經過數年智性之旅,三位數學家發現物理學有一個重要核心問題不可解,這意味著其他重大問題或許也不可判定。

撰文/丘畢特(Toby S. Cubitt)、培瑞斯-賈西亞(David Perez-Garcia)、沃爾夫(Michael Wolf)
翻譯/翁秉仁

物理

量子物理不可解問題

經過數年智性之旅,三位數學家發現物理學有一個重要核心問題不可解,這意味著其他重大問題或許也不可判定。

撰文/丘畢特(Toby S. Cubitt)、培瑞斯-賈西亞(David Perez-Garcia)、沃爾夫(Michael Wolf)
翻譯/翁秉仁


我們三人坐在奧地利希費德(Seefeld)的一間咖啡廳裡,這座小鎮位於阿爾卑斯山深處。2012年夏天,那一刻我們被困住了,但不是困在咖啡廳裡──當天陽光明媚,阿爾卑斯山白雪皚皚,周圍的美麗景色強烈誘惑我們走到戶外,放棄困住我們的數學問題。我們正在嘗試連結量子物理與20世紀由哥德爾(Kurt Godel)和涂林(Alan Turing)發現的重要數學成就。至少,這是一個夢想。這個夢想始於2010年一學期的量子資訊研究計畫,地點在靠近瑞典斯德哥爾摩的米塔格-雷夫勒研究所。


我們所檢視的問題,前人已探討過其中一些,不過對我們來說是全新方向,所以理應從簡單問題先著手。我們打算證明一個小問題,結果不太有意思,為的只是試探難易。幾個月下來,我們對如何證明有個大致的想法,但是要讓這個證明真的成立,得先把問題表述在人為架構裡,感覺像是配合答案去修改問法,十分令人困擾。2012年,我們在希費德舉行的研討會再次見面,第一場演講後的休息時間,我們重拾這個問題,卻還是提不出任何解套的方法。於是,沃爾夫半開玩笑地說:「我們為什麼不證明大家關注的問題其實不可判定(undecidable)?例如譜隙(spectral gap)。」


那段時間,我們對於某些物理問題是否「可判定」很感興趣。前述困住我們的就是探討某個問題的可判定性,只是那個問題不那麼重要,沒幾個人關心,但是沃爾夫提議的「譜隙問題」是物理學的核心議題。當時,我們既不知道譜隙問題是否可判定(雖然依我們直覺是不可判定),對於能否證明譜隙問題可判定或不可判定也毫無概念。不過如果能解決譜隙問題,對物理學將別具意義,更別說在數學上的實質成就。沃爾夫滿懷雄心的建議幾乎被當做玩笑草草帶過,卻帶領我們走入一場大冒險。三年之後,146頁的數學論文完稿,我們證明了譜隙問題不可判定,並發表在《自然》(Nature)。


要理解這項證明的意義,必須追溯20世紀初,查考影響近代物理學、數學、電腦科學發展的一些線索。這些內容迥異的概念全都源自德國數學家希爾伯特(David Hilbert),他是公認過去百年最偉大的數學家。(當然,數學界以外的人多半沒聽過他的大名。就算數學界有其獎勵方式,但數學研究這條路並不是搏名氣、當名人的康莊大道。)


量子物理的數學


希爾伯特對數學的影響無與倫比。他早年發展一門數學分支稱為泛函分析(functional analysis),其中的「譜論」(spectral theory)領域是我們證明譜隙問題的關鍵。希爾伯特對譜論的興趣純粹出自抽象的理由。但事情有時就這麼巧,當時物理學家坐困愁城的問題,希爾伯特的數學理論竟是解方。


物質受熱會發光,是因為內部原子放射光。街上的鈉燈發出的橘黃光就是好例子:鈉原子主要發出波長590奈米的光,屬於可見光譜的黃光區段。原子中的電子在不同能階「跳躍」時會吸收或放射光,光的精確頻率由這些能階之間的能隙決定。因此物質受熱的發光頻率,就是原子不同能階的「能隙地圖」。解釋原子如何放射光的機制,正是20世紀前葉物理學家纏鬥的一個難題。這個問題直接促成量子力學的發展,希爾伯特的譜論扮演了主要角色。


其中有一處量子能階的能隙特別重要。物質的最低能階稱為「基態」(ground state),是物質不具有熱能時所處的能階。想讓物質處於基態,科學家必須在實驗室中把它冷卻到極低的溫度;想讓物質離開基態,必須把它激發到更高的能階。最簡單的方式是讓物質吸收少許能量,足以到達緊鄰基態的上一個能階──「第一受激態」(first excited state)。基態和第一受激態之間的能隙稱為「譜隙」。


有些物質的譜隙很大,但也有物質的能階會一直延伸到基態,根本不存在任何譜隙。物質是「有譜隙」(gapped)還是「無譜隙」(gapless),會大幅影響它在低溫下的狀態,尤其在量子相變(quantum phase transition)中有重要地位。


當物質的性質急速發生劇烈變化時就會引發相變。有些相變我們很熟悉,例如水加熱可從固態變成液態。但是當物質處於非常低溫時,還存在十分奇特的量子相變,例如改變物質周遭的磁場或壓力,可能把絕緣體變成超導體,或者把固體變成超流體。


但在絕對零度(-273.15℃)時,物質怎麼可能會引發相變?這時根本沒有熱可供給能量!關鍵就在譜隙。當物質是無譜隙,到達受激態所需的能量是零,於是一丁點能量就足以讓物質引發相變。事實上,由於主導極低溫物理的怪誕量子效應,物質可從空無暫時「借」一點能量,引發相變後,再把能量「還」回去。因此,想理解物質的量子相變與量子相(quantum phase),就必須判定物質是有譜隙還是無譜隙。


因為譜隙問題對於理解物質的量子相如此重要,因此在理論物理的不同領域皆有相關的難題。凝態物理許多懸而未解的知名問題,追根究柢便是要解決特定物質的譜隙問題。甚至,在粒子物理也出現一個息息相關的問題:有相當強的證據顯示,描述夸克與其交互作用的基本方程式存在「質量間隙」(mass gap)。從瑞士日內瓦附近的大強子對撞機(LHC)這類粒子對撞機所取得的實驗證據,便支持質量間隙;超級電腦大型數值計算的結果也驗證這個想法。但是想從理論上嚴格證明質量間隙的存在極度困難。事實上,「楊-密爾斯質量間隙問題」(Yang-Mills mass gap problem)列名為美國克萊數學研究所的七大百萬獎金問題之一,成功解答的人可獲得獎金100萬美元。在理論物理不同領域相關的難題都是廣義譜隙問題的特例。然而,對於想要解決這些問題的人,我們有個壞消息:我們的證明顯示,廣義譜隙問題遠比大家想像的更刁鑽,原因出在所謂的Entscheidungsproblem