物理

時空原子

時空,可能是由離散的小所堆積而成的……

撰文/斯莫林(Lee Smolin,加拿大圓周理論物理研究學者)
翻譯/林世昀

物理

時空原子

時空,可能是由離散的小所堆積而成的……

撰文/斯莫林(Lee Smolin,加拿大圓周理論物理研究學者)
翻譯/林世昀

環圈量子重力理論預測,空間就像原子一樣:在測量體積的實驗中,我們只會得到一組離散數字的集合,體積由獨立的小塊組成。另一個我們可以測量的量是邊界B的面積。一樣,運用本理論計算,所得到的結果亦是毫不含糊的:這個曲面的面積也是離散的。換言之,空間並不是連續的。它只由面積與體積的特定量子單位所構成。

測量體積和面積時,可能得到的數值,是以所謂的「普朗克長度」(Planck length)為單位。這個長度與重力的強度、量子的大小和光速都有關。它標示了空間幾何不再連續的尺度。普朗克長度非常微小:10-33公分。非零的最小可能面積,就是普朗克長度的平方,也就是10-66平方公分。而非零的最小體積,則是普朗克長度的立方,10-99立方公分。因此,理論預測,每立方公分的空間裡,約有1099個空間量子。空間量子之微小,小到一立方公分裡的空間量子數目,竟比整個可見宇宙所包含的體積(1085立方公分)還多。


自旋網絡


關於時空,我們的理論還告訴了我們什麼?首先,這些體積與面積的量子態看起來像什麼?空間是由一堆小方塊,還是小圓球所組成的?答案是:都不是,沒有那麼簡單。話說回來,我們還是可以畫出代表體積與面積量子態的圖示。對於研究這個領域的同行來說,這些圖示非常漂亮,因為它們能連接到一個優雅的數學分枝。


要看這些圖示怎麼運作,可以想像我們有一塊形如正立方體的空間,如右頁圖所示。在我們的圖示中,我們以一個點來描述這個正立方體,它代表一個體積元,還有六條線向外伸,每條代表正立方體的一個面。在這個點旁邊有一個數字,是用來標記體積的大小,而每條線旁邊的數字,則標記著這條線所指表面的面積。


接著,假設我們在正立方體的頂面擺一個金字塔。這兩個共用同一個面的多面體,就用兩個點(兩個體積元)和兩點之間連結的一條線(代表兩個多面體鄰接的面)來表示。正立方體還有其他五個面露出來(五條向外伸的線),金字塔則有四個(四條向外伸的線)。很清楚的,除了正立方體與金字塔,含有其他形狀多面體的更複雜排列,都可以用這些點線圖示來加以描述:每個多面體的體積變成一個點,或稱「節點」,多面體的每個平面則變成一條線,而連接節點的線,就代表多面體之間鄰接在一起的面。數學家便把這些線條圖示叫做「圖」(graph)。


現在,在我們的理論中,我們把多面體的形象丟掉,留著圖就好了。描述體積與面積量子態的數學會給我們一套規則,讓我們知道節點和線要怎樣才能連接,以及圖裡頭哪裡可以放什麼數字等等。每個量子態都對應到其中一個圖,而每個合乎規則的圖也對應到一個量子態。對所有可能的空間量子態來說,圖是一種很方便的速記法(量子態的數學與其他細節太複雜了,沒有辦法在這裡討論;我們最多只能展示一些相關的圖示而已)。


比起多面體,圖是一種比較好的量子態表示法。尤其是,有些用奇怪方式連接的圖,並不能轉換成整齊的多面體圖案。比如說,要是空間是彎曲的,不管我們用任何畫法,都不能把一堆多面體適當地嵌合在一起,可是,我們還是很容易把圖畫出來。的確,我們可以拿出一個圖,然後由它算出空間的扭曲程度。由於空間的扭曲就是重力的來源,這些圖示便構成了重力的量子理論。


為了簡單起見,我們通常把圖畫成二維的,不過最好還是把他們想像是充填在三維空間中,因為那正是它們所代表的。但這裡有個觀念上的陷阱:圖的線和節點並不是存在空間中的特定位置上。每個圖的定義,要視各個單元連接在一起的方式,以及它們與一個定義良好的邊界(如邊界B)之間的關係。你用來想像「圖」的三維連續空間背景,並不能當做獨立於圖之外的一個實體。線和節點就是所有的存在;它們就是空間,而它們連接的方式就定義了空間的幾何。


這些圖叫做「自旋網絡」(spin network),因為它們上頭標示的數字,和一種叫做「自旋」的量有關。這是英國牛津大學的彭若斯(Roger Penrose)在1970年代早期首先提出,而自旋網絡也許會在量子重力的理論中,扮演某種角色。1994年,當我們發現我們的精確計算與他的直覺不謀而合時,不禁雀躍萬分。熟悉費曼圖(Feynman diagram)的讀者,應該已經注意到了,我們的自旋網絡並不是費曼圖,儘管它們從表面上看起來十分類似。費曼圖表示的是粒子間的量子作用力,是從一個量子態進行到另一個量子態的;而我們的每個圖代表的卻是某個空間體積與面積的固定量子態。


圖裡頭個別的節點與邊線,代表的是空間的極小區域:一個典型的節點代表一個大小約為一個普朗克長度立方的體積,一條典型的線則約代表一個普朗克長度平方的面積。不過原則上,對一個自旋網絡的大小和複雜度,我們的理論並沒有任何限制。如果我們能畫出一個我們宇宙量子態的詳細圖像(亦即被星系、黑洞和其他物體的重力所彎曲的空間幾何),那麼,這個巨大的自旋網絡的複雜度是無法想像的,它的節點多達10184個左右。


這些自旋網絡能描述空間的幾何,可是包含在那個空間中的所有物質跟能量要怎麼辦?那些佔據空間中某個位置與區域的粒子與場,我們該如何表示呢?粒子(如電子)對應的是某些型式的節點,可在節點上加註更多的標記來表示;場(如電磁場)也可在圖中的線上加註額外的標記來表示。至於粒子與場在空間中的移動,則以這些標記在圖上一步步的跳躍來表示。