物理

搞懂孿生子佯謬

每個人的時鐘走得都一樣快嗎?

撰文/拉斯基(Ronald C. Lasky)
翻譯/甘錫安

物理

搞懂孿生子佯謬

每個人的時鐘走得都一樣快嗎?

撰文/拉斯基(Ronald C. Lasky)
翻譯/甘錫安


「時間是相對的」這句格言或許沒有「時間就是金錢」那麼有名,不過時間會隨著物體相對於另一物體移動的速度而變快或變慢,則是愛因斯坦最重要的見解之一。

「時間膨脹」這個詞主要用來描述相對運動造成的時間減緩。為了說明時間膨脹的效果,愛因斯坦提出了「孿生子佯謬」這個例子,也是相對論中最著名的想像實驗。在這個佯謬中,孿生子之一以光速相仿的速度飛往遙遠恆星再返回地球。依據相對論,他結束這趟太空之旅時,會比他的孿生兄弟年輕一點(參見136頁〈如何建造時光機?〉)。

這個例子的矛盾之處在於「為什麼到太空繞了一圈會變得比其兄弟年輕?」根據狹義相對論,觀察者看到高速通過眼前的時鐘時,會覺得這個時鐘走得比較慢,也就是時間膨脹現象(這個移動時鐘問題是光速的絕對性所造成的影響)。狹義相對論顯示絕對運動並不存在,飛到另一個恆星的孿生子應該同樣認為地球上的時鐘走得比較慢?果真如此,為什麼兩兄弟的年齡不相同?

探討這個佯謬的書籍很多,但真正說得明白的很少。常見的解釋是以加速度飛行、前往恆星的孿生子,在旅程結束時會比其兄弟年輕。這種說法雖然結果正確,但相關解釋則可能造成誤導。有些讀者會誤以為造成年齡差異的因素是加速度,必須借助廣義相對論來探討非慣性或加速參考座標系才能破解這個佯謬。但其實太空之旅的加速度無關緊要,而且我們只需透過狹義相對論就可弄清楚這個佯謬。


時鐘不同步

假設這對孿生兄弟住在美國新罕布夏州漢諾威,外號分別是「旅兄」和「宅弟」。他們對旅行的喜愛程度不同,但都想製作一艘飛行速度可達0.6倍光速(0.6c)的太空船。孿生兄弟花費數年打造出一艘太空船;太空船由旅兄駕駛,即將發射升空,準備飛向6光年外的恆星。

太空船很快就加速到0.6c,要達到這樣的速度,必須以2g的加速度連續加速100多天。2g是地球重力加速度的兩倍,相當於你坐在雲霄飛車高速迴轉時受到的加速度。然而如果旅兄是一顆電子,就可在不到一秒內加速到0.6c,因此加速到0.6c所需的時間不是我們討論的重點。

旅兄運用狹義相對論的長度收縮公式來測定距離,原本在宅弟6光年之外的恆星,對於以0.6c飛行的旅兄就只有4.8光年之遠。因此旅兄的這趟恆星之旅只需要花費8年(4.8/0.6),但宅弟則需要10年(6.0/0.6)。為了破解孿生子佯謬,我們必須考慮旅兄和宅弟的時鐘在這趟旅程中各自呈現的狀況。假設他們都有高倍率望遠鏡,看得見對方的時鐘。令人驚訝的是,只要留意光在兩者之間行進所需的時間,就可破解這個佯謬。

旅兄從地球出發前往恆星時,與宅弟都把時鐘歸零(參見左方〈兄弟時鐘比一比〉)。旅兄到達恆星時,他的時鐘走了8年,但宅弟看見旅兄到達恆星時,宅弟的時鐘經過16年。為什麼會這樣?因為對宅弟而言,太空船花了10年飛到恆星,光從恆星回到地球又經過6年,宅弟才看見旅兄到達恆星。因此從宅弟的望遠鏡看來,旅兄的時鐘只走了他時鐘的一半(8/16)。

旅兄到達恆星時,如前所述,他的時鐘經過8年,但他看見宅弟的時鐘是6年前的狀態(光從地球到恆星所需的時間),也就是需時4年(10-6=4)。因此從旅兄看來,宅弟的時鐘也只走了他時鐘的一半(4/8)。


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