其他

1+2+3+4+......=﹣1/12

拉曼努真與歐拉一樣,有著不可思議的數學直覺。

撰文/高涌泉

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1+2+3+4+......=﹣1/12

拉曼努真與歐拉一樣,有著不可思議的數學直覺。

撰文/高涌泉


任何國中生都能一眼看出,本文標題是個很不對勁的等式,因為等號左邊是把1、2、3等正整數一直無止盡加下去的總和,由於每個正整數都大於零,總和無疑也必須大於零,所以絕不可能等於─1/12這樣一個負數。任何高中生還可以進一步看出這個等式另有嚴重的問題:等號左邊是個無窮級數,而且每一項都比其前一項大,所以這個級數不會收斂,是沒意義的發散級數,我們最多可以說這個無窮級數等於無窮大,若說它等於─1/12,無論如何是說不通的。


然而這個不應該成立的等式竟然被人寫了下來,而且還在量子場論與弦論上有著重要的應用,所以其中一定有非常玄妙的道理,一般只有選修「高等複(數)變(數)分析」課程的數學系或物理系學生,才會學到這個道理。但是由於受到最近上映的一部英國電影的啟發,引我想在此多解說一下這個奇怪的等式,以及與它相關的故事。


這部電影的名稱是不易瞧出端倪的「天才無限家」(The Man Who Knew Infinity),因為我們從沒聽過「無限家」這種頭銜;直譯的片名應該是「了解無限大的人」,這也是20多年前出版的一本印度數學天才拉曼努真(Srinivasa Ramanujan)的傳記書名。片中有兩位主角,一位當然就是拉曼努真,另一位則是英國劍橋大學三一學院的數學教授哈迪(G. H. Hardy)。此片主要講述,哈迪這位伯樂如何獨具慧眼地賞識拉曼努真這匹不世出的數學千里馬,把出身貧窮、未受多少正規數學教育的拉曼努真請到劍橋,栽培他、鼓勵他、與他合作、提拔他選上英國皇家學院院士的故事。


我之前已多少耳聞拉曼努真與哈迪的事蹟,但還不是很熟悉他們的數學工作,所以看完電影後便上網找了一些資料來看,因而看到拉曼努真在1913年1月16日寫給哈迪的第一封自我推薦信,裡頭條列了自己發現(但未詳加證明)的一些「定理」。哈迪後來說:「其中一些定理我從未看過,但只要瞧一眼就足以知道只有第一流的數學家才能寫下這些東西。這些定理一定是對的,因為如果它們不是真的,不會有人有足夠的想像力去發明出來。」


我意外發現1+2+3+4+......=─1/12這個等式居然也在這些定理之列(關於這類奇特等式,拉曼努真在信中的說法是:「對於發散級數,我得到一些定理,可以計算出對應到這種發散級數的收斂值。」),因為我依稀記得在哪裡讀過哈迪曾說拉曼努真不熟悉複變函數論,連其中基本的所謂「柯西定理」都沒聽過(這可以理解,因為拉曼努真非科班出身),若是如此,拉曼努真如何能夠得到這個奇異等式呢?


還好拉曼努真留下了筆記,其中記載了他的兩種推導方式,以下我說明其中較簡單、直觀但不嚴謹的辦法:首先,從大家熟悉的級數1+x+x^2+x^3+x^4+......=1/(1─x)出發,對兩邊微分即可得等式1+2x+3x^2+4x^3+......=1/(1─x)^2,把x=─1代入此等式,則可得1─2+3─4+5─......=1/4;接下來,把1+2+3+4+......這個級數稱為S,則4S=4+8+12+16+......,所以S─4S=─3S=1+(2─4)+3+(4─8)+5+(6─12)+......=1─2+3─4+5─......=1/4,因此─3S=1/4,結論是S=─1/12。有人主張在拉曼努真之前,18世紀大數學家歐拉(Leonhard Euler)已經知道以上的推導。


不過當今所有數學老師看到這個推導都不禁要皺眉,因為嚴格講,1+2x+3x^2+4x^3+......=1/(1─x)^2這個等式對於x=─1不適用,所以此證明不能成立。在複變函數論中,我們可以利用19世紀大數學家黎曼發展出來的「解析延拓」概念,給予等式1+2+3+4+......=─1/12一個嚴謹、沒矛盾的說法。

在電影「天才無限家」中,哈迪一直要拉曼努真說清楚他到底怎麼想出那些數學定理,拉曼努真只能回答:都是老天告訴他的。


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