其他

好難馴服的無窮小

當新的矛盾裂解了既存的體系時,數學家真正應該做的事,絕非如鴕鳥般把頭埋在沙裡,而應該全力擴充體系並提升層次。

撰文/李國偉

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好難馴服的無窮小

當新的矛盾裂解了既存的體系時,數學家真正應該做的事,絕非如鴕鳥般把頭埋在沙裡,而應該全力擴充體系並提升層次。

撰文/李國偉

重點提要
■古代人所理解的數學性質是與實際物體緊密連結的,但線段的不可公度量帶來了「無窮」的困惑。
■阿基米德在《方法》一書中寫下無窮次求和的方法,17世紀的卡瓦列里把無窮小當做輔助工具來求得體積。
■無窮小最終在1960年代羅賓森(Abraham Robinson)的努力之下,獲得了圓滿的解答。

埃及、巴比倫、印度、中國等遠古高度發達的文明,都對數學有相當重要的貢獻。他們所理解的數學性質,是與實際物體緊密聯結的。以埃及人為例,直線是拉緊的繩索,矩形是田地的邊緣。

到了古希臘時代,數學才逐漸脫離實體的世界,變成心智認知的抽象概念。在這個轉變的過程中,畢達哥拉斯居於關鍵的地位。畢達哥拉斯領導的學派認為宇宙萬物的根源在於「數」,古希臘人的「數」只包含1, 2, 3, ......這些現在所謂的正整數,而兩個數的比(ratio)只代表它們之間的一種關係,也不是今天所謂的有理數。

無窮的困惑

現代人對於無窮這個「數」可能難以想像,同樣的情況也出現於古希臘時代。如果要試著理解「無窮」,我們或許可以看看這個例子:你志在必得某項拍賣品,凡是有人出價時,你就比他多加100元,直到無人喊價為止。雖然在任何時刻你都只動用有限的錢,然而你的財富潛力必須毫無止境,你才能跟別人如此比拚。那古希臘人是從何對無窮感到困惑?

畢氏學派認為,如果有兩條筆直的線段,就應該能找到第三條足夠短且筆直的線段,使得原先的兩條線段都是第三條線段的整數倍,因此原先的兩條線段是可公度的。但是在公元前五世紀,畢氏學派驚覺有些量會無窮無盡地找不到公度單位。不可公度量的發現不僅澈底打擊了畢氏學派的教條,也使古希臘人警覺到無窮帶來的巨大困惑。

不可公度量的發現,也引發了空間能不能無窮分割的問題。若只能進行有限次的分割,則空間就有最小的單位,是由一個個非常微小的單位累積起來的,便是一種離散的結構;若不斷進行分割卻永遠達不到最小單位,則空間就成為一種連續的結構。師承畢氏學派的芝諾提出了數個著名的悖論,像是「阿基里斯與烏龜賽跑」、「飛矢不動」,讓有限分割與無窮分割兩種主張都面對難以消解的矛盾。

歐幾里得的巨著《原本》第12卷命題10,使用不可公度量相比理論以及窮盡法,證明了圓錐的體積是相同底面積、相同高度圓柱體積的1/3。(《幾何原本》是利瑪竇與徐光起翻譯《原本》前六卷的中文書名,歐幾里得《原本》的內容遠超過幾何學。)

不過歐幾里得的《原本》裡並沒有用無窮多個圖形去填滿而「窮盡」另一個圖形的說法。例如,該書第12卷命題2的敘述是:圓與圓之比如同直徑上正方形之比,這道命題的證明使用了兩次歸謬法,使得無論兩個圓形的比小於或大於兩個正方形的比,都會導致矛盾,從而得到必須相等的結論。在導出矛盾的過程中,會用邊數足夠多的正多邊形去內接於圓,使得圓面積與內接多邊形面積相差小過預先假設的量,卻沒有說出內接正多邊形無窮接近圓,以致於最後等同於圓。

這種心思巧妙卻十分繁複的窮盡法證明,其實是一種有限的過程。如果說隱約可見無窮的身影,也是一種潛在的態勢,即所謂的「潛無窮」。另外,對比於潛無窮的概念,就應該是所謂的「實無窮」。舉例來說,想像1, 2, 3, ......這一系列數的總體也該有個「數目」,不過它卻大於任何正整數,完全是另外一種類別的「數」。

古希臘人因為「無窮」帶來令人困惑的矛盾現象,所以在公開的數學證明裡,不敢使用實無窮的方式進行計算,只利用潛無窮的有限程序做定性的推理。例如,《原本》第12卷命題2雖然精妙,但是歐幾里得終卷也沒給出圓面積的實際值。在使用窮盡法之前,對圖形間的比必須先有答案,歸謬法起始時才有明確的命題得以否定。古希臘人又是怎麼先找出正確的答案呢?