其他

微積分的宗教秘史

今日的積分學源自17世紀兩位數學家的爭辯,他們背後的動機究竟是數學還是宗教呢?

撰文/亞歷山大(Amir Alexander)
翻譯/鍾樹人

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微積分的宗教秘史

今日的積分學源自17世紀兩位數學家的爭辯,他們背後的動機究竟是數學還是宗教呢?

撰文/亞歷山大(Amir Alexander)
翻譯/鍾樹人

重點提要
■17世紀,義大利數學家卡瓦列里提出:任何平面都是由無窮多個線條構成,而任何立體則由無窮多個平面組成。他說,我們可以利用這些「不可分量」來計算長度、面積和體積──這是邁向現代微積分重要的一步。
■和卡瓦列里同時代的瑞士數學家古爾丁對此非常不認同,他批評不可分量不合邏輯,但這兩人的爭論並非全是出於數學理由。
■他們分屬兩個不同教派,雖然名稱類似,但兩方教派的哲學大不相同:古爾丁屬於耶穌會,而卡瓦列里則屬於耶穌教團。前者相信可利用數學把嚴密的邏輯結構強加在混亂的宇宙之上,後者則比較想順從直覺去了解複雜的世界。

無數學生都學過微積分,也就是把物體分割成許多等分再加總起來,以求得長度、面積或體積,屬於數學的一門分支,但是很少人知道,他們的微積分作業有一些源自17世紀兩位學者之間的爭辯。在1635年,義大利數學家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri)宣稱,任何平面是由無窮多個平行線構成,而任何立體則由無窮多個平面組成。他的「不可分量法」(method of indivisibles)曾經遭受瑞士數學家古爾丁(Paul Guldin)因經驗理由而抨擊,但是後來仍保存下來,成為了微積分的先驅。美國加州大學洛杉磯分校的亞歷山大發現,這場爭辯的背後藏有更多的個人動機。本文摘錄自亞歷山大的最新著作,他指出卡瓦列里和古爾丁分屬不同的天主教會,兩人對於如何透過數學來理解現實的本質,意見有所分歧。

古爾丁在1641年出版的著作《重心》(De Centro Gravitatis,亦稱Centrobaryca)的第四卷內,詳細批判了卡瓦列里的不可分量法。古爾丁認為,古典數學家無法接受卡瓦列里的證明,因為那不是構造性證明(constructive proof)。這樣的說法確實沒錯,在傳統的歐氏幾何裡,幾何圖形是一步接一步,從簡單到複雜,只藉由直尺畫線和圓規畫圓建構起來。在證明圖形的每個步驟裡,都必須具有這種建構性,再加上邏輯演繹,才能得到最後的圖形。然而卡瓦列里卻反其道而行,他從拋物線、螺線等已經畫出的幾何圖形開始,然後把它們分割成無窮多的等分。這種方法或許可以稱為「解構」,而不是「建構」,其目的並非建立合乎邏輯的幾何圖形,而是拆解既有圖形的內部結構。

古爾丁接著攻擊卡瓦列里方法的基本原則,也就是平面由無窮多個平行線構成、立體由無窮多個平面組成的這種概念。古爾丁堅稱這種概念簡直是胡說八道,他說:「沒有幾何學家會認同他的平面概念,更不可能以『圖形裡的所有直線』這種幾何語言來稱呼平面。」

換句話說,因為線條沒有寬度,即便數量再多的線條並排在一起,也無法構成最小的平面。因此卡瓦列里透過圖形中「所有線條」來計算平面面積,顯得很荒謬。古爾丁接著說出他的觀點:卡瓦列里的方法是,以某個圖形的所有線條與另一個圖形的所有線條之間的比例來計算。但古爾丁堅稱,兩個圖形的線條都無窮多,兩個無窮之間的比例並無意義。無窮多個不可分量不論乘以幾次,都不可能超過另一組無窮多個不可分量。

宗教介入?

古爾丁批評卡瓦列里方法的所有論述,具體展現出當時耶穌會(Jesuit)數學的核心原則。耶穌會數學的傳統創始者克拉維烏斯(Christopher Clavius)與信徒深信,從簡單的公設到更複雜的定理,數學推演都必須具有系統並符合邏輯演繹,以描寫圖形之間的普遍關係,構造性證明正是這種理想的具體表現。這種方法能產生嚴謹、有階層的數學邏輯,對耶穌會而言,這正是人們為何研究這個領域的主因。這種方法能透過系統化的演繹,顯現出抽象原則如何建構出固定且理性的世界,其中的真理是萬物適用而不可挑戰的。對此,克拉維烏斯指出,歐氏幾何要比其他任何科學更接近耶穌會嚴謹、階層和秩序的理想。由此可知,古爾丁並非如卡瓦列里和他的朋友所認為,是因為迂腐或心胸狹隘而緊抱著構造性證明不放,他不過是表現出自己對所屬教派的堅定。

古爾丁對於卡瓦列里方法基本原則的批評,也是如此。數學不僅必須具有階層、構造性,還必須完全理性、不能有所矛盾。但古爾丁指出,卡瓦列里不可分量中最核心的概念是條理不清的,因為把連續體視為不可分量的組合這種概念是禁不起理性的考驗。他喝斥:「不存在的事物,就是不可能存在,無法拿來互相比較,也難怪會造成矛盾和不一致,最後導致錯誤。」

古爾丁在他的著作裡並未解釋他反對不可分量的深層哲學動機;其他耶穌會數學家也不曾解釋,例如同樣抨擊卡瓦列里的貝蒂尼(Mario Bettini)和塔奎特(Andrea Tacquet)。古爾丁一度差點坦承,這件事不僅攸關數學,而是牽涉更廣的議題。他神秘地寫道:「我認為不該以那些必須受到抑制的動機與不適當的沉默,來排拒不可分量法。」但他不曾解釋過那些「必須受到抑制的動機」究竟是什麼。這三位數學家擔負起了用數學抨擊不可分量的任務,而不涉及哲學或宗教。假設他們坦承這些動機是基於神學或哲學上的考量,他們在數學領域的威信必將受損。

那些參與不可分量論戰的人,當然知道真正的風險何在,就像耶穌教團(Jesuat)數學家安傑里(Stefano degli Angeli)以詼諧的文句暗示:不知道耶穌會數學家是受到「何種神靈」的感召。然而除了極少數的例外,這場爭辯一直局限在數學領域,是兩群受過高度訓練的專家,在爭論數學演算程序的合理性。

反駁控訴

卡瓦列里在1642年首次遭到古爾丁的批評,他隨即著手進行詳細的辯駁。起初,他企圖以朋友對話的書寫型式做為回應,這也是他的導師伽利略(Galileo Galilei)偏好的型式。但當他把簡短的草稿拿給同樣是數學家兼好友的洛卡(Giannantonio Rocca)時,洛卡卻勸他放棄。洛卡警告他最好避免浮誇的對話型式,免去那些俏皮話和伎倆比較安全,否則可能激怒有力的反對者。洛卡建議他最好直接回應古爾丁的控訴,把焦點謹守在數學議題上,避免伽利略式的挑釁。洛卡沒有說出口的是,伽利略是位寫作天才,卡瓦列里的文字完全不及他的一絲文采,也沒辦法以慧詰而娛人的方式來呈現複雜的議題。卡瓦列里可能接受了朋友的好意勸告,如今我們也就省了一篇「對話錄」,用不著讀他特有且沉悶到近乎難解的文辭。卡瓦列里對古爾丁的回應,出現在《六個幾何問題》(Exercitationes Geometricae Sex)中的第三個「問題」,這本書是他最後一本關於不可分量的著作,出版於1647年,該篇文章有個坦率的標題,就叫「論古爾丁」。

卡瓦列里對於古爾丁的批評似乎沒有太在意,他否認自己認為連續體是由無窮多個不可分量構成,辯稱自己的方法並未建立在這個假設上。如果有人認為連續體是由不可分量構成,那麼「一大堆線條」就確實能組成平面、「一大堆平面」就能組成立體;但如果不接受線條能組成平面的概念,那麼平面必然是由線條以外的東西構成、立體則由平面之外的東西構成。但他辯稱,以上的論述與不可分量法完全無關,不論構成圖形的究竟是什麼,不可分量法不過是把某個圖形的所有線條或所有平面,拿來與另一個圖形的線條或平面互相比較。

從技術層面來講,卡瓦列里的論述或許可以接受,但也顯得虛偽不實。凡是讀過他1635年出版的著作《不可分量的幾何學》(Geometria Indivisibilibus)或《問題》(Exercitationes)的人,肯定都會認為他的方法是基於一種基本直覺,也就是連續體為不可分量的組合。古爾丁要卡瓦列里審視他對連續體的看法,這樣的主張正確無誤,而耶穌教團提出的辯解似乎只是相當薄弱的藉口。

古爾丁主張「兩個無窮之間不可能形成比例或比率」,卡瓦列里對此的回應並不具有說服力。他把無窮分成兩種,聲稱「絕對無窮」和「絕對無窮」之間確實無法形成比例,但是所有線條和所有平面並非一種絕對無窮,而是「相對無窮」。然後他辯稱,這種相對無窮可以和另一個相對無窮形成比例。就和之前一樣,卡瓦列里對自己方法的辯解,似乎還是基於高深的技術層面,其他數學家不見得會接受。總之,他的論辯完全沒有提及不可分量法背後真正的動機。

不過在卡瓦列里對古爾丁某項控訴的回應中,這項動機洩露了出來。古爾丁批判卡瓦列里對圖形的建構並不恰當,讓卡瓦列里失去耐性、顯露出真面目。古爾丁曾經聲稱,幾何證明裡的任何圖形、角度和線條,都必須根據第一原理仔細建構,但卡瓦列里斷然否認這點。他寫道:「一項證明要為真,不一定需要實際描繪出雷同的圖形,只要假設能在心中描繪它們,就已經足夠。」

直覺與理性之戰

這正是古爾丁與卡瓦列里以及耶穌會與不可分量主義者之間的真正差異。對耶穌會來說,數學的目的是為了把世界建構成永恆不變的地方,其中的秩序與階層永遠不容挑戰。因此世界上的每個項目都必須受到仔細而理性的建構,永遠不容許絲毫的矛盾與不一致。這是「由上而下」的數學,是為了把原本可能混亂的世界帶向理性與秩序。

但對卡瓦列里和不可分量主義夥伴而言,事情正好相反。數學的起點在於對這個世界的實質直覺,例如平面由直線組成、立體由平面組成,就好比線織成了布、紙張構成了書本一樣。人們不需要依賴理性去建構這樣的圖形,因為我們全都知道它們早已經存在世界上。唯一需要的是假設它們,然後研究它們的內部結構。如果遇到看似矛盾或不一致的問題,那必然是表面的,是因為我們的理解有限,或許可透過解釋解決問題,或許可拿來當做研究工具。但這些矛盾不應該阻止我們研究幾何圖形的內部結構,或隱藏圖形之間的關係。

對古爾丁這種古典數學家來說,把數學架構在模糊或矛盾的直覺上,是一種荒謬的想法。古爾丁問卡瓦列里,「誰」來判斷幾何建構的真相?是手、眼睛,還是智力?卡瓦列里認為古爾丁堅持避免矛盾,是毫無意義的迂腐主張,他認為每個人都知道圖形確實存在,這時辯論圖形是否存在並沒有意義。在卡瓦列里看來,這種吹毛求疵可能埋葬成果。如果古爾丁的主張獲得普遍的認同,一項有力的方法將會遭到漠視,而數學本身也將遭到背叛。

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2014年第149期7月號】