物理

超越費曼圖

將大自然的各種力統一起來,或許沒有物理學家原來所想的那麼困難。

撰文/伯恩(Zvi Bern)、狄克森(Lance J. Dixon)、寇索爾(David A. Kosower)
翻譯/高涌泉

物理

超越費曼圖

將大自然的各種力統一起來,或許沒有物理學家原來所想的那麼困難。

撰文/伯恩(Zvi Bern)、狄克森(Lance J. Dixon)、寇索爾(David A. Kosower)
翻譯/高涌泉

重點提要
■物理學家對於粒子碰撞的了解,最近經歷了一場寧靜革命。知名物理學家費曼所引入的觀念對於很多應用而言已到達極限。作者與合作者已經發展出新的方法。
■物理學家利用新方法,可以更可靠地描述在大強子對撞機(LHC)那種極端條件下普通粒子的行為,這將幫助實驗學家尋找新粒子與新作用力。
■新方法還有更為深刻的應用:它讓一種於1980年代被物理學家放棄的統一理論有了新生命,重力看起來像是雙份的強核力一起作用。

春天某個晴朗的日子,本文作者狄克森從英國倫敦地鐵的茂恩都站進入地鐵,想前往希斯洛機場。倫敦地鐵每天有300萬名乘客,他瞧著其中一位陌生人,無聊地想著:這位老兄會從溫布頓站離開地鐵的機率有多大?由於此人可能搭上任何一條地鐵路線,所以該如何推算這個機率呢?他想了一會,領悟到這個問題其實跟粒子物理學家所面對的麻煩很像,那就是該如何預測現代高能實驗中粒子碰撞的後果。

歐洲核子研究組織(CERN)的大強子對撞機(LHC)是這個時代最重要的探索實驗;它讓質子以近乎光速前進並相撞,然後研究碰撞後的碎片。我們知道建造對撞機及偵測器得用上最尖端的技術,然而較不為人知的是,解釋偵測器的發現同樣也是極為困難的挑戰。乍看之下,它不應該那麼困難才對,因為基本粒子的標準模型早已確立,理論學家也一直用此模型來預測實驗的結果,而且理論預測所依賴的是著名物理學家費曼(Richard P. Feynman)早在60多年前就發展出來的計算技巧,每位粒子物理學家在研究生階段都學過費曼的技巧;關於粒子物理的每本科普書、每篇科普文章,也都借用了費曼的概念。

然而費曼的技巧對於當下的問題而言,其實已經無效!它雖然提供了一種直觀、近似的方法來掌握最簡單的過程,但是對於更複雜的過程或是更精確的計算來說,卻是無可救藥地繁雜。和預測一位地鐵乘客會往哪裡去相比,預測粒子碰撞後會出現什麼結果難太多了。即便是LHC中一次很普通的碰撞,我們就算是用上全世界的電腦,也沒有辦法推算出其結果。如果理論學家不能就已知物理定律與已知的物質形式做出精確的預測,那麼就算對撞機真的產生了新東西,我們又怎麼知道呢?就我們所知,LHC可能已經找到了大自然某些奧秘的答案,但是我們卻仍被蒙在鼓裡,原因就是我們對於標準模型方程式的解還不夠精確。

近年來,我們三人以及合作者已經發展出一種新的辦法:么正法(unitarity method),來分析粒子反應過程,它可以避開費曼法的繁複性,基本上等同於一種可以預測地鐵乘客會往哪裡去的高度簡便方法,其關鍵在於體認到每當地鐵乘客面臨選擇時,他的選項其實是受到相當限制的,因此我們可以把要追求的答案分解成一連串行動的機率。這個新方法已經讓我們解決了粒子物理中很多原本無從解決的理論問題,因此我們能夠更深入理解現今基本粒子理論的預測,辨認出新發現。這個方法也可以用於另一個有趣的模型,而得到很多結果;這個模型和標準模型類似,但是所描述的是一個理想化的世界,物理學家對它很感興趣,因為它被視為追求最終理論路上的墊腳石。

么正法不僅是有用的計算技巧而已,它暗示了粒子交互作用理論其實有一個嶄新的形式,此形式是由意料之外的對稱性所掌控,這意味著標準模型具有尚未受到重視的精緻面。特別值得一提的是,長久以來物理學家致力於將量子理論與愛因斯坦廣義相對論結合成量子重力論,么正法在這方面揭露了一個很奇怪的轉折。1970年代以前,物理學家一直假設重力的性質和其他基本交互作用是相似的,所以便設法推廣既有的理論以包容重力。但是當他們將費曼的技巧用於這類理論時,卻發現要不就得到荒謬的答案,要不就被複雜的數學給困住了;所以,重力看起來終究和其他力完全不同。因此沮喪的物理學家便轉向更革命性的點子,例如超對稱以及後來的弦論。

可是么正法讓我們能夠實際執行1980年代就試圖要做但無從做起的計算,結果發現某些原先料想的矛盾其實並不存在。也就是說,重力的確看起來和其他力是相似的,只是其方式令人意外:重力的行為像是「雙份」把核子束縛在一起的強核力。由於強核力是由膠子傳遞的,而重力應該是由稱為重力子的粒子來傳遞,么正法所提供的新圖像即是每個重力子就像是兩個縫在一起的膠子。這個概念相當奇怪,即便專家也還無法好好想像它的意義。無論如何,這個「雙份」的性質提供了一個嶄新的觀點,來探討重力如何能和其他力結合。

從一棵樹變成了森林

費曼的技巧何以那麼令人信服與有用?關鍵是它給了我們一個圖像式的規則,來對付極為複雜的計算。費曼法的核心是一種圖(常稱為費曼圖),讓我們以視覺方式來看待兩個或多個粒子碰撞或相互散射。在每個探究基本粒子物理的研究機構裡,你一定會看到黑板上畫滿了這種圖。理論學者在做定量預測時,會先畫一組圖,每個圖都代表粒子碰撞過程可能的進行方式,如同倫敦地鐵乘客可能選取的各種路徑。理論學者只要依循費曼以及戴森(Freeman Dyson)等人所定下的一組詳細規則,就可以賦予每個圖一個數字,代表該事件如圖發生的機率。

費曼法的缺點是我們可以畫出的圖太多了,原則上是無窮多個,不過就費曼當初發展這個方法的目的而言,這項缺點並不太要緊。他當時研究的是量子電動力學(QED),目的在於描述電子與光子的交互作用。此交互作用是由一個稱為「耦合係數」的量所控制,其大小約為1/137。由於這個電磁耦合係數很小,使得較為複雜的圖在計算中所佔的份量就比較小,因此常常可以忽略。就像對地鐵乘客來說,選擇較為簡單的路線通常比較有利。


20年之後,物理學家將費曼的技巧推廣至強核力。基於和QED的類比,強核力的理論稱為量子色動力學(QCD)。QCD也受到一個強耦合係數的控制,但是我們從「強」這個字,就可預料到QCD的強耦合係數要比QED的電磁耦合係數來得大。從表面上看,若耦合係數變大,則理論學家在計算中必須包括的複雜圖數量就得增加,這就好似如果地鐵乘客願意選擇非常迂迴的路線,我們就很難預測他的下一步。不過幸運的是,在非常短的距離內(包括LHC中粒子的碰撞所涉及的距離尺度),強耦合常數其實變小了,因此理論學家在計算最簡單的碰撞時,只要考慮不複雜的費曼圖就好。


然而,如果要處理雜亂的碰撞,則費曼法涉及的繁複之處就無法避免了。費曼圖中有「外線」與「環圈」,我們可以用外線的數目與環圈的數目來分類費曼圖。環圈代表量子理論最核心的特色之一:虛粒子。虛粒子雖然不可直接觀測,卻對力的強度(耦合係數的大小)有可觀測的效應。虛粒子遵循一切平常的自然定律,例如能量守恆與動量守恆,除了一個例外:虛粒子的質量和相對應的「實粒子」(即可以直接觀察到的)不一樣。環圈代表虛粒子極短暫的生命週期:它們忽然出現,行進很短的距離後,又消失了。虛粒子的質量決定了它們的壽命——質量越大壽命越短。


最簡單的費曼圖忽略了虛粒子,也就是沒有環圈,因此稱為樹圖。在量子電動力學中,最簡單的圖就是兩個電子藉由交換一個光子而相互排斥。接下來,我們可以將環圈一個個加進去,得到更複雜的圖。物理學家稱這種疊加的步驟為「微擾法」,意思是我們從某個近似(由樹圖代表)開始,然後藉由加上修正(由環圈代表)來逐漸擾動最初的近似。例如,當光子旅行於兩個電子之間,它可以自發地分裂成一個虛電子與一個虛正子,這一對電子與正子存在了很短的時間,然後相互湮滅而變回光子,此光子就繼續原先光子的旅程。如果我們考慮下一階的修正,則電子與正子自身也可能暫時分裂。費曼圖中虛粒子的數目越多,費曼圖就越能精確地描述量子效應。


不過即使是樹圖也很麻煩。在QCD中,你如果勇敢地考慮較複雜的碰撞,例如有兩個膠子進來,然後有八個膠子出去,則必須畫下約1000萬個樹狀費曼圖,並針對每個圖算出對應的機率。有一種稱為遞迴的辦法,是荷蘭來登大學的貝倫(Frits Berend)以及現今在美國費米實驗室的吉爾(Walter Giele)於1980年代首先發展出來的,能夠處理樹圖,但是無法推廣至圈圖;更糟糕的是,環圈帶來無法承擔的計算量。即便只涉及一個環圈,費曼圖的數量與每個圖的複雜度也都會大幅增加,數學公式足以填滿一本百科全書。利用更多電腦去硬算這些圖也只能應付一陣子,一旦外線與環圈的數量增加了,我們只有舉手投降。


更糟的是,原本費曼圖是一種將微觀世界視覺化的具體方式,現在卻反而讓微觀世界變得模糊不清:一個費曼圖就已經複雜到無以捉摸,要處理的圖又那麼多,我們根本弄不清到底關鍵在哪裡。可是真正令人震驚的是,當我們把所有的圖加起來,最後的結果卻相當簡單!有些圖會相互抵消,使得原本有幾百萬項的數學式有時會化簡成只剩一項!這些相消意味著費曼圖不是處理問題的正確工具,就好似拿羽毛來釘釘子。一定有更好的辦法才對。


比費曼圖更好的方法


多年來,物理學家嘗試過很多計算的技巧,每個都比先前的好一點,逐漸地,一個取代費曼圖的方法便成形了。我們從1990年代初期開始參與,當時我們之中的伯恩與寇索爾證明了可以利用弦論技巧,把所有相關的費曼圖整合進一個公式,簡化了QCD計算。接著我們三人用這個公式分析一個一直尚未了解的粒子反應:兩個膠子透過一個虛粒子環圈散射成三個膠子;這個過程如果以傳統的辦法處理,會非常複雜,但是我們可以用一個極其簡單的公式(可以寫進一張紙)來描述它。


這個公式如此簡單,以致於我們與當時在美國加州大學洛杉磯分校的鄧拔(David Dunbar)發現只要用一個稱為「么正性」的原理,便幾乎可以完全理解這個散射過程。么正性的意思是所有(量子過程)可能結果的機率加起來,必須是百分之百。(嚴格說來,我們處理的是機率的平方根,而非機率本身,不過在這裡這個區別並不重要。)在費曼的技巧中,么正性雖然也成立,但是常會被計算的複雜性所掩蓋,所以我們發展出另一種方法,以凸顯么正性的中心地位。其實將計算奠基在么正性上的想法在1960年代就已經出現,不過未獲青睞。科學上被放棄的點子有時會再改頭換面凱旋歸來,這是屢見不鮮的事。


么正法成功的關鍵在於避免直接利用虛粒子,那是讓費曼圖變得如此複雜的主因。這種粒子有真實的效應,也有虛假的效應;依定義,虛假的效應當然必須在最後的結果中彼此相消,所以它們是額外的數學包袱,物理學家當然很樂意拋棄掉。


我們可以用之前提過的地鐵類比來理解這個方法:在複雜的倫敦地鐵系統中,任何兩地鐵站間有很多條路徑;假設我們想知道一個人從茂恩都站進入地鐵而從溫布頓站出去的機率,費曼法相當於把所有可能路徑的機率加起來,這裡的「所有」是真的,亦即除了經由走廊與隧道,費曼圖包括了通過(沒有地鐵軌道與走道的)岩石的路徑;這些不實際的路徑就像是來自虛粒子圈的假貢獻,雖然最終會相消掉,但是在計算步驟中卻一個也不能漏掉;在么正法中,我們僅考慮那些有實際意義的路徑。我們把問題分解,以計算乘客走某條路徑的機率:這個人通過十字轉門、走這條或那條軌道的機率有多高?這樣可以大幅減少所需的計算量。


費曼法與么正法沒有對錯之分,兩者都呈現了同樣的基本物理定律,最後也都會得到相同的機率,但是它們代表了不同層次的描述。複雜的碰撞涉及數萬個費曼圖,其中一個費曼圖就像一滴液體中的一個分子;雖然原則上你可以追蹤所有的分子來決定流體的行為,但是這麼做只適用於微觀的極小滴液體,一般而言,這麼做是極吃力卻又無助於理解流體行為的事;流體可能從斜坡上沖下來,但我們卻很難從分子的角度去得知這件事;考慮上一層次的性質(例如流體速度、密度、壓力)可能會更有幫助。同樣的,與其把粒子碰撞想像成是由一個個費曼圖建構起來的,不如整體地看待它;我們應該全神貫注於那些會控制整個過程的性質,例如么正性以及在么正法中受重視的那些特殊對稱性。在某些特殊的例子中,我們可以做出完全精準的理論預測,如果利用費曼法,這需要用上無窮多個圖與無窮的時間!


么正法的好處還不只如此。在我們發展出用於虛粒子圈圖的么正法之後,那時在美國普林斯頓高等研究院的布瑞托(Ruth Britto)、卡察佐(Freddy Cachazo)、馮波(Bo Feng)與維頓(Edward Witten)提出了一個和我們互補的點子:他們再次考慮樹圖,例如可以從四個粒子的碰撞,再跟隨著一個粒子分裂成兩個粒子的這種過程的機率,去推算出涉及五個粒子的碰撞機率。這是令人驚訝的結果,因為五個粒子的碰撞,通常看起來非常不同於前述兩個前後相連的碰撞與分裂過程。這樣一來,我們可以用很多種方法把令人頭痛的粒子問題分解成較簡單的問題。

【欲閱讀更豐富內容,請參閱科學人2012年第124期6月號】



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