科學人剪影

粒子物理與幾何的對話

鞏訥的非可換幾何提供了有別於弦論的另一種架構,由於鞏訥的理論可以直接用實驗來檢驗,所以或許比弦論還棒。

撰文/赫勒曼斯(Alexander Hellemans)
翻譯/高涌泉

科學人剪影

粒子物理與幾何的對話

鞏訥的非可換幾何提供了有別於弦論的另一種架構,由於鞏訥的理論可以直接用實驗來檢驗,所以或許比弦論還棒。

撰文/赫勒曼斯(Alexander Hellemans)
翻譯/高涌泉

鞏訥:重新定義空間
■他是非可換幾何的主要發明者,這種新幾何是一種數學空間,在此空間中,事件的順序比物體的位置更重要。
■他說明可換幾何的起源:最棒的事在於,人們透過實驗與理論研究所獲得的結果,居然有意想不到的數學之美。

在瑞士日內瓦附近的高能粒子加速器:大型強子對撞機(Large Hadron Collider, LHC)明年就要啟動了,如果有數學家也和物理學家一樣,急切地等著LHC的結果,那一定就是巴黎法蘭西學院的鞏訥(Alain Connes)了。他和許多物理學家一樣,希望LHC的偵測器會找到希格斯粒子(Higgs particle)。在所謂標準模型,也就是描述基本粒子與其交互作用的理論架構中,希格斯粒子是最後一個還沒找到的關鍵元素;按道理,希格斯粒子能賦予其他粒子質量。對鞏訥來說,找到希格斯粒子是很重要的,因為希格斯粒子──甚至其質量──會出現在一種新型數學的奇特方程式中;這種新型數學稱為「非可換幾何」(noncommutative geometry),而鞏訥就是主要的發明者。


鞏訥的想法是將幾何空間與其卡式座標(即一般常用的直角座標)的可換代數,推廣到一種奠基於非可換代數的幾何。在可換代數中,兩數的乘積和相乘時的順序沒有關係,例如3×5=5×3。但是有些運作是不可以交換其順序的。以一架可以又翻(繞著縱軸旋轉)又滾(繞著與機翼平行的軸旋轉)的特技飛機為例,如果飛行員接到無線電指示先翻90度,接著再朝飛機底部滾90度,那麼只要飛行員依據指示的順序操作,一切就都沒問題。但是如果順序顛倒了,則飛機就會筆直往下掉。卡氏座標中的運作是可換的,而三維空間中的旋轉是不可換的。


物理學家為了更清楚地理解自然現象,他們有時會使用所謂的「相空間」。這種空間和卡氏座標不一樣,例如它會顯示電子的速度和動量,而非只是電子的x座標與y座標而已。由於海森堡的測不準原理,我們無法同時測量速度與動量,所以位置乘上動量並不會等於動量乘上位置,因此量子相空間是非可換空間。此外,我們如果把這種非可換性質引入一般空間中,例如讓x座標與y座標變成非可換座標,那麼就造出了一個帶有非可換幾何的空間。


鞏訥透過這樣的分析,發現了這種新型幾何的奇特性質,這些性質對應到量子理論的原理。他花了30年的時間來改進他的想法。即使他已將此學問的基本觀念寫成書,發表於1994年,研究人員還是蜂擁而至來聽他演講。3月的某個風雨日,大約60名頂尖法國數學家擠滿了法蘭西學院第五號教室,59歲的鞏訥在兩座投影機間快速地走來走去,像頭籠中的獅子。他講得很快,不停地將寫滿方程式的投影片換上換下。在外頭,警車的號笛在抗議學生群中響起,這些學生想佔領隔壁的索本大學,以抗議法國政府所提議的新就業法。


鞏訥似乎毫不在意這些騷動,即使在演講過後,當他走過藍色的警方箱型車與鎮暴警察、跨過聖賈克路時,他仍不停談論他的研究如何導致物理新概念。他舉粒子物理的發展方式為例:愛因斯坦的時空觀源自電動力學,但是電動力學只是標準模型的一小部份而已,如果人們發現有必要放進新粒子,則新粒子就會被加到標準模型中,一旦這些預測的粒子在加速器中出現,標準模型就獲得證實。


但是同樣奠基於電動力學的廣義相對論,時空觀卻沒有被物理學家修改。鞏訥提出了相當不一樣的想法:「與其引入新粒子,不如使用一種更微妙的幾何,而這些新粒子會自動出現在新幾何的結構中。」事實上,鞏訥已經成功創造了一種非可換空間,它包含了所有用來描述標準模型中基本粒子的抽象代數(也稱為對稱群)。


所以從標準模型所衍生出來的圖像便是:物理時空乃是一種非可換空間,此空間由兩層連續體所組成,就像一張紙的兩面。介於這張紙兩面之間的空間是一個額外的、離散的(不連續的)非可換空間。整個空間中離散的這一部份產生了希格斯粒子,而連續體那一部份則產生了規範玻色子,例如傳遞弱力的W粒子與Z粒子。