形上集

空穴論證

愛因斯坦被這個論證絆住了一段時間,直到體認時空點的物理意義,才創造出廣義相對論。

撰文/高涌泉

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空穴論證

愛因斯坦被這個論證絆住了一段時間,直到體認時空點的物理意義,才創造出廣義相對論。

撰文/高涌泉


廣義相對論公認是最美麗的科學理論,《科學人》讀者對於這個理論的要旨應該都略有所知。但是對於愛因斯坦創造廣義相對論的過程,除了他於1907年在瑞士專利局上班時不可思議地設想出「等效原理」,以及他找數學家同學葛羅斯曼幫忙,之外的事大家就不清楚了。我自己在好久以前首次開授相對論課程時,其實也還不了解其歷史曲折,後來接觸了科學史家過去40年對於愛因斯坦心路歷程的研究成果,才逐漸摸索出輪廓,也才知道所謂的「空穴論證」(hole argument)是阻礙愛因斯坦未能提早兩年發現廣義相對論重力場方程式的關鍵之一。空穴論證可以展現愛因斯坦的思想,具有教育意義,我在此介紹這個論證。


愛因斯坦在1905年提出狹義相對論,指出物理定律在所有慣性座標系都成立。例如,我們在地球上做電磁實驗發現了馬克士威電磁方程式,而在相對於地球以固定速度前進的太空船中從事電磁研究的科學家,他們也會歸納出相同的馬克士威方程式。也就是說,在勞侖茲座標變換下,儘管時間座標與空間座標都會改變,太空船座標系中的電場與磁場也會改變,但兩個座標系中的電場與磁場都遵循馬克士威方程式。以術語講,馬克士威方程式在勞侖茲座標變換下是協變(covariant)的。


如果兩個座標系間的速度可任意改變,勞侖茲座標變換便失效,我們必須考量一般(廣義)座標變換。愛因斯坦認為,廣義相對論中的物理定律都必須在一般座標變換下具協變性。由於他相信等效原理,把重力現象與廣義座標變換連在一起,因此認定超越狹義相對論的廣義相對論必然涵蓋重力。結論就是重力可看成彎曲時空效應,而且重力場方程式必須具有「廣義協變性」。


但是僅僅要求廣義協變性不足以獲得正確的重力場方程式,還必須要求這道方程式在適當的極限下能導出牛頓重力理論。愛因斯坦相信透過這兩個條件足以把場方程式找出來。這個進路是正確的,因為現代廣義相對論教科書也正是循著這樣的邏輯推導出重力場方程式。儘管方向正確,愛因斯坦卻遇上兩個絆腳石,以致未能很快完成他的大業。一是他在取古典極限時,犯了錯誤;二就是空穴論證,這個論證讓他一度誤入歧途,放棄廣義協變性。


空穴論證相當微妙,它涉及兩種看待時空座標變換的方式:(1)時空點不動,但由於我們可以隨意設定座標系來標定時空點,以致時空點的座標會隨著座標系而異,這是最常見的觀點,我們稱之「被動觀點」;(2)我們不更換座標系,時空點座標的改變來自時空點的移動,所以不同的時空座標就代表不同的時空點,這樣的觀點我們稱為「主動觀點」。


愛因斯坦知道重力場方程式若具有廣義協變性,從被動觀點看,即使物質的分佈是固定的,用場方程式所解出的度規張量並沒有唯一性,因為只要換了座標系,描述時空曲率的度規張量也跟著改變。但是由於這些不同的度規張量所描述的是同一個時空結構,所以方程式的解沒有唯一性並不造成困擾(在任一座標系中,方程式的解還是唯一的)。不過愛因斯坦的思慮很細膩,他設想時空中有一個空穴,裡頭空無一物,所有物質都在空穴外,然後用主動觀點考慮座標變換。他讓空穴外時空點的座標維持不變,但是改變了空穴內的座標,也就是空穴內的時空點移動了,那麼度規張量也會跟著改變。愛因斯坦認為這是不能接受的事,因為這表示儘管物質分佈固定、座標系固定,場方程式還是沒有唯一的解,他認為這樣的方程式沒有物理意義。


愛因斯坦掙扎了好一段時間,才體認到時空點沒有獨立的物理意義,時空必須與度規張量合在一起看;場方程式在一個座標系中儘管沒有唯一解,但所有度規的解仍代表同一個物理情境。廣義相對論中不存在沒有度規的拓撲時空。跨過了空穴論證這個絆腳石,愛因斯坦很快就抵達終點。


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