形上集

庫侖定律、高斯定律及其他

在電動力學中,高斯定律依舊成立,但庫侖定律卻失效。

撰文/高涌泉

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庫侖定律、高斯定律及其他

在電動力學中,高斯定律依舊成立,但庫侖定律卻失效。

撰文/高涌泉


朋友告訴我,有人在網路上爭論電磁學中庫侖定律(Coulomb’s law)與高斯定律(Gauss’s law)的關係。庫侖定律與高斯定律是電磁學的核心內容,兩者的關係照理說應該是修習過電磁學的每個學生都了解的。不過我也知道,不見得每本教科書都會清楚指明兩個定律在廣義狀況下於電磁學中的邏輯地位。所以,我想在此對於這項討論貢獻一點意見。


首先說明一些背景知識。庫侖是法國科學家,在1785年發表電學研究成果,指出兩個靜止的點電荷彼此會相吸(若電性相異)或相斥(若電性相同),這個吸(斥)力的大小和兩電荷距離的平方成反比,與兩電荷大小的乘積成正比。這個所有中學生都知道的結論,後人稱為庫侖定律。


若以電力線的概念說明,庫侖定律意味一個靜止的正電荷會以其所在位置為中心,朝四面八方均勻發射筆直電力線,就像一隻刺蝟那樣,電力線的總數與電荷大小成正比。負電荷也一樣會產生均向電力線,只是電力線反向由四面八方指向電荷。若以電場的語言來說,一個靜止正(負)電荷會產生均向朝外(內)的電場,空間各點電場的強度與該點和電荷的距離的平方成反比,因為任何一處的電場強度與該處電力線的密度成正比。


接下來介紹高斯定律。眾人皆知,高斯是「數學王子」,在他名下有眾多重要的數學定理,其中一項是所謂的「高斯散度定理」。我們可利用這個定理證明一件事:假設空間中有一些靜電荷,這些電荷依據庫侖定律產生電場,又假設有一個任意形狀的封閉曲面,把空間分隔為內外兩個區域;若計算由內朝外穿過這個封閉曲面的電力線數目,減去由外朝內穿過曲面的電力線數目,這個總數會和曲面內部的電荷總量成正比,亦即穿過此封閉曲面的淨電力線數目,會和被曲面包圍住的總電量成正比。這個結果即是靜電學中的高斯定律。


由於通過封閉曲面的淨電力線數和總電通量(electric flux,也就是電場對於此封閉曲面的面積分)成正比,所以高斯定律便是在說,穿過某封閉曲面的總電通量會正比於位於封閉曲面內部的電荷總量。舉一簡單的例子,如果電荷全部落在曲面外部,即曲面並未包圍住任何電荷,那麼由外部穿進曲面內的電力線會全部再穿透出來,所以總電通量為零。


就數學而言,庫侖定律與高斯定律是等價的(假設點電荷所產生的電場是均向的)。若是如此,既然我們已經有了簡單明瞭、中學生都懂的庫侖定律,何以還要談論高斯定律?理由之一是,對於某些電荷分佈來說,高斯定律配合上對稱性的考量,能讓我們很容易解出電場。但另一個理由更為重要。


關鍵是庫侖定律與高斯定律的等價性只在靜電學中成立:如果電荷在運動,而非靜止,庫侖定律便失效,但我們還是能找到高斯定律在此情況下依舊成立的證據。例如,氫原子是由帶正電的質子與帶負電的電子組成,電子以高速繞著質子運動,但從遠處看,氫原子是中性粒子,所以穿過一個包圍著氫原子的封閉曲面的總電通量等於零,這表示運動狀態差異很大的電子與質子對於電通量的貢獻完全抵消,與兩者靜止時一樣,也就是說,無論電荷是否靜止,高斯定律依然成立。


因此一旦我們離開靜電學,進入電動力學,還是可以採用適用範圍較廣的高斯定律,卻不能繼續使用庫侖定律。電磁學教科書在介紹馬克士威方程式時,一般會列舉四道方程式,高斯定律就是其中之一。這些書也會強調,高斯定律與其他三道方程式以及電荷守恆律合起來在數學上是相容的,所以整體而言,電動力學有個很漂亮的數學架構。


最後必須指出,我們不會在馬克士威的著作中找到「高斯定律」這個詞,事實上,到了20世紀中葉,「高斯定律」這名詞尚未廣泛使用,大半課本提到的是數學上的「高斯(散度)定理」。


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