不可勝數

歐拉公式大有內涵

它把看似不相關的實數與虛數串在一起,訴說了數學發展的悠遠故事。

撰文/曹亮吉

不可勝數

歐拉公式大有內涵

它把看似不相關的實數與虛數串在一起,訴說了數學發展的悠遠故事。

撰文/曹亮吉


歐拉(Leonhard Euler, 1707~1783)是18世紀的數學家,對當時數學的各領域都有非凡的貢獻,平面幾何的歐拉線就是大家耳熟能詳的。不過歐拉還有一條更特別的公式e+1=0,有人認為它是最美的公式;客觀來說,它是很有內涵的,居然可把一些看起來不相關的實數與虛數串在一起,訴說著數學發展的許多故事。


式中的數1代表數學的開端。有了1,往後才會有數個數的自然數,以及量數量的分數、實數。式中的加號(+)代表計算的開端。有了加法,才能發展四則運算等更複雜的計算。式中的等號(=)代表計算的結果。


數原來是用來數東西的,沒有東西就不必數,所以0不是個自然數。它的出現起初代表(十進位)位值的空無,後來才在數數的系統中佔有一定的地位。


歐拉公式表示e是個負整數-1。從數數計量的觀點,負數是不需要的。負數的產生和減法及其代數化有關,例如有4個蘋果,吃掉了3個就剩下4-3=1個。代數化的意思是說,考慮任何兩數做相減的計算,但不限於吃蘋果的情境。試啊試的,就會碰到3-4的難題。解決之道,其一就回到吃蘋果的情境,說計算沒有意義:只有3個蘋果,不可能吃掉4個。另一就改變情境說:只有3個蘋果,但想吃4個,那麼還少幾個?少1個就用-1來代表。


公式中的π是圓周率,它代表一圓的周長相對於直徑之長度量。研究圓周率,是高等幾何學的重要課題,也提供了往後發展積分學的一些想法。


公式中的i是單位虛數√-1,它的意義是平方後的結果為-1。但是在實數系統中,任何數的平方是不會小於0的。虛數的產生也是代數化的結果。某種情境下要解方程式x2=1,就得x=±1,沒問題。代數化就會碰到解x2 =-1的困境。解決途徑一樣有二,其一:認定答案沒道理,情境不合理。另一:承認有√-1這樣的數,它雖然不是實數,但能與實數和平共存就好。


所以一開始,虛數不為數學家所擁抱,直到出現三次方程式x3+px+q=0的根式解,才完全改觀。它的解為x=u+v,而u3、v3=-q/2±√r,r=q2/4 +p3/27 。當某實際的p、q值會使r值為負時,就認定不合情境。例如用此公式去解x3=15x+4時,會得


它含有負數的平方根,但x=4明明是方程式的一個解呢!

後來有人由複數的計算知,所以。由含虛數的公式,可得到實數的結果,經此一役及後續的發展,虛數與實數終於能融為一體而成為複數。


要了解e的意義,得先從歐拉數e開始。實數a的指數函數ax,其微分為kax,與原來的函數成正比。這樣的性質使得指數函數應用在研究生長或衰退現象時,變得很重要。而當k=1時,a就等於e,而


因為ex的微分是它本身,所以ex的級數展開為


(將右式逐項微分,仍得原式。)取x=1,由級數可得



歐拉以x=iy代入上式,做形式上的計算,



取y為圓周率π,就得到歐拉公式。


歐拉公式讓我們從1開始,談到數數、算術、0、負數、幾何(π)、代數、虛數、複數、指數、級數等,這條公式實在是大有內涵!


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