形上集

得失寸心知不知(二)

愛因斯坦在1912年領悟到,高斯曲面論是發展廣義相對論的著力點。

撰文/高涌泉

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得失寸心知不知(二)

愛因斯坦在1912年領悟到,高斯曲面論是發展廣義相對論的著力點。

撰文/高涌泉


1907年9月,仍在瑞士伯恩專利局擔任技師的愛因斯坦,受邀為一本科學年鑑寫篇完整論述狹義相對論的文章。當時愛因斯坦發表革命性的狹義相對論已有兩年,這兩年愛因斯坦並未把心思放在相對論上,不過他還是答應了。可能是愛因斯坦想利用這個機會檢討並處理狹義相對論與牛頓重力理論之間的矛盾,以致他在文章最後一節首次提出他那著名的「等效原理」想像實驗。


這個原理是說一艘飄浮在太空中的火箭,若加速向上前進,則火箭中的太空人會受到一個向下的力,彷彿這艘火箭靜止在朝下的重力場中(例如停留在星球表面),亦即你可以說你正在加速前進,或者說你正靜止在重力場中。另一種講法是,如果你從屋頂一躍落下,在撞上地面之前,你懸浮在空中,感受不到重力。愛因斯坦後來說,他是在專利局上班時,忽然間想到加速度與重力的等效性,而這正是他一輩子最快樂的點子。


狹義相對論告訴我們,一切慣性座標系都是等價的,沒有任何慣性座標系中的觀察者有資格宣稱他是靜止的,也就是等速運動只有相對性。如果等效原理是對的,那麼我們就知道,儘管相對性原理不適用於加速運動,也就是兩個有相對加速度的座標系不是等價的,但是加速度的效應可以視為重力效應,反之重力效應也可以視為加速效應。因此愛因斯坦認定,任何想擴充狹義相對論的企圖一定要納入重力,但到底要如何進行呢?


愛因斯坦當時已知道,(1)可以從等效原理推論出光在重力場中會偏折(不過他對於偏折角度的估算是錯的),(2)鐘的快慢與尺的長短會受重力影響。他也知道,(3)狹義相對論只考慮了慣性座標系之間的「勞侖茲座標變換」,而現在他必須考慮一般性的座標變換。在此之外,發展完備理論的著力點還全然無跡可尋。直到1912年,他才忽然領悟,解謎的關鍵是他在大學幾何課學過的「高斯的曲面論」。愛因斯坦的幾何成績並不出色,所以求助幾何成績滿分的大學同學葛羅斯曼。當時愛因斯坦正要從布拉格大學轉任母校蘇黎世理工學院任教,而葛羅斯曼恰是蘇黎世理工學院數學系主任,他對於愛因斯坦的請求感到興奮,愛因斯坦從他那裡學到了高斯的高徒黎曼對於曲面論在高維空間的推廣。


不過掌握描述彎曲空間的數學語言只是起點而已,愛因斯坦的目標是找到一道方程式,能夠讓我們從物質的分佈決定空間各處的重力場。對於這道方程式,漫無頭緒瞎猜不是辦法。愛因斯坦從馬克士威的電磁場方程式尋找靈感:他知道馬克士威場方程式的型式基本上在說,電磁場的一次微分等於電磁場源(即電荷電流密度),所以他就假設重力場強度的一次微分等於重力場源(即物質與重力場自身的能量動量張量)。但什麼是重力場在彎曲空間中的數學型式?它與曲率的關係為何?愛因斯坦不知道,他只知道如果重力場很微弱,方程式必須回歸到古典的牛頓重力場方程式。


葛羅斯曼與愛因斯坦一度考慮黎曼理論中著名的瑞奇張量(Ricci tensor),這是一個二階張量,似乎可以對等到重力場的一次微分,但他們發現在這個假設下,一來能量與動量不會守恆,二來無法在弱場情況下化約成牛頓重力場方程式,便放棄了這個嘗試。他們另一個嘗試是把度規張量(metric tensor)的一次微分當成重力場,所得到的方程式似乎可以滿足物理的要求(例如能量守恆),卻沒有良好數學性質(例如在一般座標變換下,這道方程式不是協變的)。他們雖不滿意這種狀況,但仍在1913年一起發表的論文中提出這道方程式。


愛因斯坦在1915年發現1913年的「綱要方程式」還有其他缺點,絕不可能是他要追尋的答案。他決定重新出發,做法是調整重力場的數學型式,但不更動方程式的架構。沒想到這樣一來,所得到的方程式反而包含瑞奇張量,既滿足正確的座標變換關係,又能解釋水星近日點進動的角度,是個滿分的方程式。


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