形上集

得失寸心知不知(三)

由下而上的物理考量,是愛因斯坦在廣義相對論長征之路的關鍵。

撰文/高涌泉

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得失寸心知不知(三)

由下而上的物理考量,是愛因斯坦在廣義相對論長征之路的關鍵。

撰文/高涌泉


龐卡赫與希爾伯特是19、20世紀之交、前後數十年間聲望最高的兩位數學大師。因為歷史機緣,他們都曾和愛因斯坦較勁過。愛因斯坦對於純數學興致不大,也自認數學慧根不足,他之所以有幸能和數學大師過招,純然是兩位大師學養淵博,跨界研究起物理問題,才引來交手的機會。事實上,龐卡赫還比愛因斯坦更早體認狹義相對論中「相對性原理」的意義,也知道其數學表現型式,但是狹義相對論最關鍵、微妙的思想──時間是相對的,亦即同時性會依觀察者而異,卻是由比龐卡赫小25歲的愛因斯坦首先闡明。龐卡赫(與勞侖茲等專家)欠了臨門一腳,狹義相對論的榮耀終究歸於把一切兜起來的愛因斯坦。


愛因斯坦於1912~1915年間,全神貫注發展廣義相對論,龐卡赫此時已過世,比愛因斯坦大17歲的希爾伯特成了數學第一人。希爾伯特一向對於物理的進展懷抱興趣,他在1915年6月邀請愛因斯坦到數學重鎮德國哥丁根大學演講廣義相對論的進展。愛因斯坦後來對朋友說他澈底說服了那裡的數學家,尤其是希爾伯特。愛與希兩人首次相會,彼此都留下良好印象。


愛因斯坦在1915年夏天雖然已有大致的藍圖,但還沒掌握完備的理論,他帶往哥丁根的「綱要方程式」尚有一些自己當時也還沒完全認知的缺失。聰明的希爾伯特大約是看出了些端倪,也獨立找尋起重力場方程式。


希爾伯特比愛因斯坦更了解微分幾何,特別是座標變換與對稱性的意義,也不會如愛因斯坦那般有物理上的多方考量,不久後就摸索出適合自己的進路。他的秘訣是只追究方程式的數學結構,而且利用容易分析方程式對稱性質的「變分原理」,便很快地在1915年11月底前就得到正確答案。(不過有科學史家認為希爾伯特寫出完整方程式的真正時間其實在11月之後。)希爾伯特的方程式和葛羅斯曼與愛因斯坦在1913年考慮過、有較適當數學意義,但終究放棄的方程式類似。


在愛因斯坦這邊,他知道希爾伯特加入競逐,有後來居上的可能,當然也卯足全力應戰。經過一番非凡的奮鬥,愛因斯坦終於在同年11月克服先前不自覺的偏見、更正犯下的物理與數學錯誤,重拾1913年沒發表的方程式,並加以適當修補,於11月25日完成任務。


希爾伯特很清楚他的成果奠基於愛因斯坦多年的努力,所以不敢和愛因斯坦爭功(然而愛因斯坦一度認為希爾伯特的態度有些曖昧,私下曾對朋友抱怨),故我們今天仍然以「愛因斯坦方程式」稱呼兩人獨立得到的重力場方程式,但我們就稱呼希爾伯特進路(變分法)的起點──重力場作用量(action)──為「愛因斯坦 -希爾伯特作用量」。


希爾伯特不到半年就解決了問題,甚至可能獨自攻頂,讓愛因斯坦對於數學的功用有了另一番評價。他後來在《自傳筆記》中高度讚揚由上而下的數學進路:「要發現重力場方程式這樣複雜的方程式,唯一的辦法就是先找到足以(或幾乎足以)完全決定方程式、而邏輯上簡單的數學條件。一旦找到足夠強的數學條件,我們只需一點點對於現實的知識就可以建立起理論。就重力場方程式而言,我們需要的就是表現空間結構的四維對稱張量,加上在連續座標變換下的不變性,就幾乎能夠完全決定方程式。」愛因斯坦身體力行,他晚年研究統一場論就純然採用「唯一的」數學進路。


現代廣義相對論教科書雖然未必完全依照愛因斯坦上述的建議來推導方程式,但大致上都採取了由上而下的進路,因為這種進路於教學上的確較有效率。但這可不是愛因斯坦發現廣義相對論的真實路徑:科學史家說由下而上的物理考量(等效原理、與電磁方程的類比、能量動量守恆律、與牛頓重力論的連結等)在愛因斯坦廣義相對論長征之路上更是關鍵。數學與物理當然是相輔相成的夥伴,但若不是愛因斯坦的物理在前引導,希爾伯特也就沒有施展拳腳的機會。


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