科學創藝術

凝結在建築中的方程式

從古典幾何學、曲面幾何學到現代拓撲學,建築把抽象的數學方程式演繹並凝結成可觀、可居、可遊的空間,其中的美不再只有哲學家心領神會,而是人人都能欣賞。

撰文/沈伯丞

科學創藝術

凝結在建築中的方程式

從古典幾何學、曲面幾何學到現代拓撲學,建築把抽象的數學方程式演繹並凝結成可觀、可居、可遊的空間,其中的美不再只有哲學家心領神會,而是人人都能欣賞。

撰文/沈伯丞


數學,正確地看,不僅擁有真,也擁有至高的美。一種冷而嚴峻的美,一種屹立不搖的美。如雕塑一般,一種不為我們軟弱天性所動搖的美。不像繪畫或音樂那般,有著富麗堂皇的修飾,然而這是極其純淨的美,只有這個最偉大的藝術才能顯示出最嚴格的完美。
——羅素(Bertrand Russell)


除了少數數學高手外,大多數人的學生生涯中,數學經常是那個令人傷神的學科,多少個焦慮的夜晚只為了明天的數學考試,多少個掙扎的片刻只為了眼前那道難以解出正確答案的方程式或證明。羅素描述的那種純淨、嚴峻而冰冷的美感,多數人在尚未領略之前就已經逃離了,而對於數學的記憶,多數人或許更貼近小川洋子在小說《凍結的香氣》裡的描述:「無論解出多麼難的數學題,也不會留下任何痕跡……」


數學蘊藏的美感並非所有人都可以領略,相較之下,藝術的美感是大多數人可以欣賞的,因此當一個高度抽象的數學概念轉化成可用視覺及感官領略的形式時,更容易受到世人的讚歎。在所有的藝術領域中,或許建築藝術與數學方程式的關係最為密切,特別是對於結構力學的基本需求,讓建築必然與數學有著緊密的內在相關性。建築把抽象的數學方程式演繹並凝結成可觀、可居、可遊的空間,讓建築中的數學不再僅是哲學家才能領略的美,而是人人都可感受的愉悅,從古希臘巴特農(Parthenon)神殿的時代開始,大多數人便透過各式各樣建築的外觀與造型,欣賞數學嚴峻、冰冷的美感。當數學凝結成建築的形態時,它不再只是多數人學生時代感受到的那「不會留下任何痕跡……」的焦慮,而是一棟又一棟令世人驚豔的藝術傑作。


古典幾何學的和諧之美


我們在中學數學一定都學過畢達哥拉斯(Pythagoras)直角三角形定理,但教科書上鮮少提及這位希臘哲學家兼數學家對後世美學的影響。畢達哥拉斯對音樂及建築的理論和觀念都有重大貢獻,其中數與數之間的比例所構成的「和諧」更是畢氏數學美感最突出的特質。而巴特農神殿正是畢氏數學美學的最佳例證。


從古希臘到古羅馬,公元前一世紀的建築大師維特魯維亞(Vitruvius)拓展了古典幾何學。(達文西著名的完美人體比例圖像作品「維特魯維人」便是以維特魯維亞的建築學概念為靈感。)鏡像對稱(軸對稱)以及三角形數(1, 3, 6, 10, ……)的應用讓古羅馬的建築造型有更進一步的發展,其中萬神殿(Pantheon)最能代表古典時期建築,其圓頂跨度(43.3公尺)是直到1436年之前全球最大跨度的建築圓頂,而後才由傳奇的文藝復興建築師布魯涅內斯基(Filippo Brunelleschi)為義大利佛羅倫斯聖母百花大教堂(Santa Maria del Fiore)設計出超越此紀錄的圓頂;而萬神殿圓頂至今仍是最大的無支撐水泥圓頂。此外,萬神殿的正面完整呈現了古典時期幾何學的造型美學理念,例如等腰三角形的山牆、黃金比例的長方形柱廊、正方形穿堂和正圓形的半圓頂,完美表現出尺規作圖的造型組合。

(左圖:義大利羅馬的萬神殿。右圖:萬神殿的圓頂內觀)



古典幾何學建築的發展在文藝復興時期達到高峰,聖母百花大教堂即為一例。而線性透視(linear perspective)製圖技巧的出現,讓古典幾何學對於空間規劃產生舉足輕重的影響,城市規劃設計也應運而生。此外,布拉曼提(Donato Bramante)在羅馬蒙多里奧聖皮耶特羅堂(San Pietro in Montorio)中所設計的小禮拜堂(Tempietto)也是古典幾何學對稱與和諧美感的範例。

(左圖:義大利佛羅倫斯的聖母百花大教堂。右圖:義大利羅馬的蒙多里奧聖皮耶特羅堂)



前衛藝術運動與曲面幾何學


如果說古典幾何學從畢達哥拉斯時代便開始主導建築形態的表現,那麼挑戰歐幾里得第五公設而誕生的非歐幾何學,便十分適合在推翻傳統的革命年代(19世紀末至20世紀初)做為建築美學及建築形態的新指標。


在前衛藝術運動中,最為先進的建築實驗或許是來自無產階級革命的誕生地蘇聯。其中,傳奇的俄羅斯建築師蘇可夫(Vladimir Shukhov)把俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Nikolai Lobachevsky)所發展出的雙曲幾何學(hyperbolic geometry)率先應用在新時代的建築造型上。蘇可夫在非歐幾何建築造型上的努力,不僅讓他成為最早應用雙曲幾何造型的建築師,更是應用斜肋構架(diagrid)薄殼結構和抗拉結構(tensile structure)的先驅。某方面來說,蘇可夫開啟了非歐幾何建築造型的可能,並拓展了建築美學的視野。

(由俄羅斯建築師蘇可夫設計、世界上第一座應用斜肋構架薄殼結構和抗拉結構的建築,位於俄羅斯下諾夫戈羅德【此照片是施工過程,攝於1895年】。)


經歷非歐幾何學的發展,世界各地的建築造型更為自由奔放,在革命年代之後,非歐幾何學持續創造出令人驚歎的建築傑作。


師法自然的極小曲面


蘇可夫的非歐幾何建築造型問世之後,建築形態更加不受限,新的幾何學概念全面進入建築設計領域,而由蘇可夫開啟的張力結構也有新發展,靈感來自有趣的肥皂泡泡。


肥皂泡泡的形成是由於液體的表面層有表面張力,如同彈性膜,這些膜力求極小化表面能量,因此它們總是點或邊之間的最小表面,也就是數學中的極小曲面。


這些滿足某些限制條件的最小面積曲面,一方面由於表面能量最小,因此是最穩定的構造,另一方面因為是最小表面積,所以也是最節省空間的造型,這兩項特性對建築而言都是最符合經濟效益與技術考量的特質,以及無庸置疑其造型多變的可能性。


美國科羅拉多州的丹佛國際機場以及德國慕尼黑奧運公園是最小曲面造型的傑作範例,這些看似輕盈、具高低起伏的造型,猶如周圍多變的地形,讓建築增添許多呼應自然環境的氣息。

(德國慕尼黑奧運公園)


拓撲學的流形與流行


極小曲面建築帶出了連續性空間造型,新世紀的建築工藝與藝術進而走入了拓撲學(topology)領域。相較於為人所熟知的平面和立體幾何,研究主題多為長短、大小、面積、體積等度量性質與數值的關係。而拓撲學主要則是研究幾何形體和空間在連續形變下(例如拉伸或彎曲)如何維持性質不變,例如圓和方形、三角形的形狀、大小不同,但在拓撲變換下,它們都是等價的封閉曲面圖形。


新世紀拓撲空間建築的其中一件作品,正是日本建築師伊東豐雄為台灣設計的「臺中國家歌劇院」。在這件距離你我不遠的作品中,我們可以更清楚看見數學概念在當代建築中最新的美學應用。

(臺中國家歌劇院)影像來源:臺中國家歌劇院營運推廣小組


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