不可勝數

撞球桌上的數學不簡單

撞球軌跡不容小覷,蘊藏數學之妙。

撰文/李國偉

不可勝數

撞球桌上的數學不簡單

撞球軌跡不容小覷,蘊藏數學之妙。

撰文/李國偉


撞球遊戲源於14、15世紀的歐洲,從草地上打圓石頭演變到在桌面上打象牙、金屬、木頭、塑膠各種材質的球。撞球玩法相當多樣,各國偏好也不盡相同。數學家會對撞球感興趣,是因為球在桌面上滾來滾去,形成有趣的動力系統(dynamic system)。研究撞球在各種形狀的桌面上滾動的軌跡,會產生非常有挑戰性的問題,而且這些結果還能用來模擬像是氣體分子碰撞的自然現象。


當然數學家研究的撞球必須先加以理想化(或說抽象化),避免真實世界中非本質卻繁雜的限制條件。數學家通常會把桌面想像成一個封閉區域,而撞球本身只是一個點,既沒有質量,也不會發生摩擦。撞球沿直線做等速度運動,直到它碰撞桌面邊緣,然後會如同光線遇到鏡面般遵循反射定律,也就是入射角等於反射角的規則改變方向,如此持續運動。


倘若給你一張多邊形的桌面,其實並不容易判定有沒有最佳動態。假如多邊形的內角都是圓周率的有理數倍數(例如所有的正多邊形),有人證明過這種桌面會有最佳動態。然而一旦有內角是圓周率的無理數倍數,至今則還沒有完整的解答方案。甚至桌面是三角形時,會不會至少有一個初始滾動方向造成循環軌跡,也沒有澈底了解。1989~2013年一共只發現了八類具備最佳動態的三角形,到目前為止,我們不知道還有沒有其他類型的三角形也具備最佳動態。上圖就是這八類三角形,其中數字表示內角大小的比例值:


最近美國哈佛大學的麥克馬倫(Curt McMullen)、史丹佛大學的萊特(Alex Wright)、萊斯大學的穆克梅爾(Ronen Mukamel)以及芝加哥大學的艾斯金(Alex Eskin)四位數學家合力證明,下圖的兩類四邊形具有最佳動態(數字表示角度的比例值):


萊特在2014年發現這兩個四邊形,當時他正與同系的米爾札哈尼(Maryam Mirzakhani, 1977~2017)共同研究撞球桌面上的數學問題。米爾札哈尼因為在動力系統上成就卓越,於當年成為第一位獲得費爾茲獎的女數學家。英國享譽盛名的《自然》期刊雖然很少發表數學方面的論文,卻在今年9月7日刊出追悼米爾札哈尼英年早逝的文章,推崇她躋身於同世代最偉大數學家行列。在哀悼米爾札哈尼之餘,我們應該意識到撞球看似小道,實則不容小覷。誠然,數學之妙何處不在?


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