不可勝數

加權平均初探

- 我們最熟悉的算術平均、幾何平均以及調和平均,三者之間有何關係?

撰文/曹亮吉

不可勝數

加權平均初探

- 我們最熟悉的算術平均、幾何平均以及調和平均,三者之間有何關係?

撰文/曹亮吉


 9月份的本專欄中,我們談到2/5是1/2、1/3的某種加權平均;更一般,(b+d)/(a+c)是兩正數b/a、d/c的加權平均,其權數為a/(a+c)、c/(a+c)。我們可以驗證(b+d)/(a+c)是在b/a、d/c兩數之間。


推而廣之,兩正數p≦q之間的任何數r都可以表示成p、q兩數的加權平均:r=tp+(1-t)q,0≦t≦1,因此都可看成為p、q兩數的某種加權平均。t值越大者r值越接近於p,越小者越接近於q。


兩正數p≦q之各種不同的加權平均中,我們最熟悉的是算術平均a=(p+q)/2、幾何平均g=pq 以及調和平均h=2pq/(p+q)。算術平均a與p、q成減法等距(即a-p=q-a),幾何平均g與p、q成除法等距(即g/p=q/g),而調和平均h的倒數1/h則為p、q兩數倒數1/p、1/q的算術平均。三者的t值各為1/2、q /(p +q )≦q/(p+q),因此調和平均h≦幾何平均g≦算術平均a;另外,也很容易驗證g2=ah。


幾何平均涉及開方的問題,已經超出四則運算的範圍,但是幾何平均≦算術平均的事實,正好可用來計算一個平方根越來越準的近似值。下面我們以2 為例進一步說明:


2 剛好是1與2兩者的幾何平均,雖然無法直接算得其值,我們就暫時以其算術平均a1=3/2來估算,而得到1<2 <a1<2。考慮2/a1與a1兩數,2 介於兩者之間,而且為兩者的幾何平均,所以取兩者的算數平均a2=(2/a1+a1)/2=17/12,我們又得2 <...<an+1<an<a2<a1<2,而且可以證明



那麼調和平均與算術平均的關係如何呢?調和一詞是與音樂有關的,自古人們就知道兩音若聽起來和諧悅耳,其相應的頻率之間會有簡單的比例關係。C音與高八度的C'音頻率之比為1:2,而C音與G音的頻率之比為2:3(即1:3/2);這些都是簡單的比例關係。而G音相對於C音的頻率3/2,正是C音頻率1與C'音頻率2的算術平均。


我們知道弦長與頻率有反比關係,所以以C音的弦長為準,設為1,則C'音的弦長為1/2,那麼G音的弦長2/3正是兩者的調和平均。亦即,從頻率的觀點,G音是C音與C'音兩者的算術平均,而從弦長的觀點,G音是兩者的調和平均。我們也可以驗證C音與C'音頻率1、2之調和平均4/3正是F音的頻率,而F音的弦長正是C音與C'音之弦長1、1/2的算術平均3/4。


 只要兩變數之間是倒數關係,就會有算術平均與調和平均相對應的結果。流水問題就是一個例子。設行船的順水與逆水速度各為y1、y2,來回各走同樣的距離d,則順水與逆水各用去x1=d/y1、x2=d/y2的時間。而來回整體的平均速度為2d/(x1+x2)=2y1y2/(y1+y2),也就是y1、y2兩者的調和平均。


兩正數的加權平均可以推廣成n個正數x1、x2、...、xn的加權平均t1x1+t2x2+...+tnxn,而ti在0與1之間且t1+t2+...+tn=1。通常學期成績就是各科成績的加權平均,各科的權數就是該科學分數佔全體學分數的比率。跳水比賽n個裁判,對同一選手各給一個分數,然後把最高及最低分數各去掉一個,剩下的n-2個分數相加後再除以n-2,所得的數字做為該選手的成績。這也是一種加權平均,其中有兩個權數為0。


在n個正數的加權平均中,也可以定義算術平均(x1+x2+...+xn)/n、幾何平均以及調和平均。不過後兩者屬於純數學,式子複雜,在此就不再深入說明。


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