不可勝數

「對數」的原意與由來

- 為解決天文計算的多位數乘除問題,數學家從三角函數發展出對數。

撰文/曹亮吉

不可勝數

「對數」的原意與由來

- 為解決天文計算的多位數乘除問題,數學家從三角函數發展出對數。

撰文/曹亮吉


我們在中學時都學過「對數」,知道它是從指數衍生而來,有所謂常用對數、自然對數,可用於多位數的乘除計算;然而大多數人學得不知其所以然,只是更加劇對數學的畏懼。


對數的原文是"logarithm",是由兩個希臘字"logos"及"arithmos"合組而成,前者意為比例,後者意為數目,合起來的意思就是「比例的數目」。對數東傳之初就譯成「比例數」,後來才改稱為對數。


清朝數學家梅文鼎在其《勿?曆算書目》(1702年)的自序中說:「……比例數表者,西算之別傳也。其法一至萬,並設有他數相當,謂之對數。假令有所求數(或乘或除),但於本表間兩對數相加減,即得相求。」由此可知,對數指的是真數在比例數表中相對應的數。


那麼原來的「比例數」是什麼意思呢?這一切要從天文所需的繁雜計算談起。天文學固然需要平面幾何及三角的助算,球面(地球與天球的)三角的計算更是不可或缺。平面三角學的計算原理,主要是正弦律與餘弦律:


a/sinA=b/sinB=c/sinC , c2=a2+b2–2ab cosC
球面三角學的計算原理則是把這兩個定律延伸到球面上:
sin a/sinA=sinb/sinB=sinc/sinC,
cosc=cosa cosb+sina sinb cosC
天文數值通常需要很多位數,多個多位數數值相乘或相除,讓天文學家陷入了計算的泥沼之中。


為了稍解天文計算的苦惱,數學家首先想到可以利用三角學中積化和差的公式。此積化和差一共有四個公式,我們且舉其中的一個來加以說明:


2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A–B)


假定要做兩數x=1.234,y=56.78的相乘計算,我們把x, y寫成為x=10×0.1234, y=102×0.5678。查表找出sinA=0.1234, cosB=0.5678的A、B兩角。則xy=101+21/2(2sinAcosB)=1031/2(sin(A+B)+sin(A–B))


所以剩下的只是查表、加減的計算、103的移位計算,以及1/2的減半計算;這些查表與計算,比起多位數的乘除計算要簡單多了。


雖然計算簡化了,但步驟次數變多,天文學家還是不滿意,於是數學家開始思考另類的積化和差方法。對數的發明者,業餘數學家納皮爾(John Napier)想到指數律pm.pn=pm+n:如果要相乘的兩個正數x、y都可寫成為某正數p的指數x=pm, y=pn,則兩數x、y相乘除的計算,就變成兩數m、n相加減的計算。


但那時大家熟悉的指數m都是(正)整數,底數p只要大於1,則不是任何正整數x都可寫成為pm的形式;p自然也不能等於1。幾經思考,納皮爾終於選定p=1–1/107,然後考慮數列[107pm],只計算到整數部份。此數列相鄰兩項,其差不會超過1,因此0與107之間的任何整數x都可寫成為某個[107pm],則m就是x的納皮爾對數值;我們就把它記做logNx=m(N代表Napier)。它雖然不是我們熟悉的對數,但仍然有類似於對數的性質:


logNxy/107=logNx+logNy,仍可用來簡化乘法的計算。


納皮爾的對數發表後,引起數學家布立格茲(Henry Briggs)的注意,他親自拜訪了納皮爾。經過討論後,兩人理清了對數的本質:在十進位的計算中,底數應該為10,而指數就不限於整數;這就是常用對數了。


在納皮爾的對數中,p是個公比,對數值m是比例p自乘的次數,所以稱為「比例數」。等到改成常用對數,指數不一定是整數,就不好說是底數的自乘次數,因此再也不是比例數。所以對數東傳,先是譯成比例數,隨後就改稱為對數。但在對數的原產地歐洲,大家已經習慣於"logarithm"這個字以及其所指的內容,也就不去追究其原意了。




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