不可勝數

圓周率求值簡史

- 自古以來,圓周率就是數學家持續精益求精的數值,但可以有多準?

撰文/曹亮吉

不可勝數

圓周率求值簡史

- 自古以來,圓周率就是數學家持續精益求精的數值,但可以有多準?

撰文/曹亮吉


關於圓周率,至少可以從兩個層面來談。一是理論的:為什麼它是個常數,它在哪裡會出現?另一層面則是怎樣求它的(近似)值,怎樣確定求得的近似值誤差範圍如何?本文著重的是後一層面的問題。


在確定了圓周率π為常數之後,數學家就想盡各種辦法來求值。最簡單的方法是實測:真的用代表直徑的繩段,度量彎曲的圓周長,得到周三徑一的初步結果。隨後有許多較為精確的數值出現,例如約等於3+1/7,3+1/8,(16/9)2,10 等,共同的特色是靠經驗所得之值,而說不出這些值有多好。


在西方,阿基米德想到的方法是:用圓內接及外切正多邊形的周長,做為圓周長的低估值與高估值,而邊數越多,估算就越準。他算到正96邊形,得到π值介於3+10/71與3+1/7之間。π值的計算有了一定的步驟,也知道準確值的範圍,算是計算π值的一個里程碑。


 在中國,三國時代的劉徽,則用單位圓內接正n邊形的面積An來計算π值。

他指出正2n邊形比正n邊形多出的部份,若加上正2n邊形,則涵蓋的面積會超過整個圓面積,亦即   A2n <π< A2n+(A2n-An)或者0 <π-A2n < A2n-An


這樣求出An、A2n,就知道π值的近似值A2n是多少,而且知道誤差不會超過A2n-An。劉徽算到2n=3072邊,確定π=3.14159,精準到第五位小數。


無論是阿基米德或劉徽的方法,由內接正n邊形的邊長或面積,計算正2n邊形的邊長或面積,總是要面對一再開平方的問題,要花相當久的時間才能算得π的幾位小數。


引入一圓之弦長與相應圓心角的三角函數關係,使我們能夠免去開平方計算;這是我們在今年4月號〈截彎取直〉及7月號〈再談截彎取直〉兩篇文章所強調的重點。這樣,雖然減少了開平方的計算,但還是不能根據這些三角函數直接計算π值到任意準確的程度。〈再談截彎取直〉最後提到反正弦函數,它把角度(以弧度為單位,一周角為2π弧度)表成為弦長的冪級數,據之,我們可用級數的頭幾項計算π的近似值,而誤差則由微積分的理論來確定其範圍。這樣π值的計算又進入了一個新的境界。


求π值最後登台的,不是出現比級數更厲害的數學公式,而是出現了電腦這個算得又快又準的槍手;如今π值的計算已經超過100億位數。


最後我們來回顧一下,日本在17世紀獨立發展數學時,和π值相關的一些往事,以與π的主流歷史相對照。數學家村松茂清計算圓內接正215邊形的周長,得到π的近似值為π15=3.14159 26487 77698 86924 8。他沒有阿基米德或劉徽內外逼近的想法,不知道這個近似值精準到第七位小數,而取近似值為3.14。


數學家村瀨義益更進一步,算到217邊形,得近似值π17= 3.14159 26532。這個近似值精準到第九位小數,但他也沒有信心,只取π的近似值為3.1415。


到了和算(日本的傳統數學)的最偉大數學家關孝和(1642~1708年),他發現π值的一個近似公式




而得π值的近似值為3.14159 265359微弱。結果準到第11位,但他一樣不敢確定。


另一位偉大的和算家建部賢弘(1664~1739年)用了更複雜的公式,算得π的近似值為3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 419712強。建部賢弘和前人一樣,不敢確認這個近似值有多準,但實際上準到第40位。


由上可知,和算對圓周率的逼近與計算花了不少工夫,但缺乏的是誤差估計的觀念與能力,以致於就要邁向積分學,終究過門而不入。不過現在日本的數學是世界級的,而且他們用電腦計算π值的位數屢屢打破世界紀錄。


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