不可勝數

在平面國搬運沙發

在二維世界中,有些數學問題頗有趣味,解法也相當出人意料。

撰文/李國偉

不可勝數

在平面國搬運沙發

在二維世界中,有些數學問題頗有趣味,解法也相當出人意料。

撰文/李國偉


1884年英國出版了一本奇特的中篇小說《平面國》,作者艾波特(Edwin Abbott Abbott)的專業雖然不在數學,但是這本100頁左右的小書,能夠快速帶領讀者體會空間維度的概念。艾波特幫助我們擺脫習以為常的「高度」或「厚度」,學習適應一切都緊貼在平面的觀點。平面國裡的人民都是多邊形的模樣,邊數越多階級越高,最高等的教士階級,邊數就多到看起來像圓形。平面國裡的房子多是正五邊形,至於內部的隔間,以及什麼人該住哪一間,艾波特都用插圖描繪出來。


艾波特撰寫這麼古怪而不合常情的世界,想表達的其實是諷刺英國維多利亞時代的階級制度。然而,從平面國的幾何條件著眼,就會察覺一些連艾波特自己也沒留意的問題。例如這個問題就頗有趣味:假設在平面國裡有一條寬度為1的走廊,先沿水平方向往右延伸,之後直角向下轉。現在準備搬運一座沙發通過走廊,也就是說在保持形狀的條件下,把代表沙發的封閉曲線從左上端經由平移與轉動繞過轉角到達右下端。那麼能夠如此搬運過去且面積最大的沙發,會是什麼樣子?


1966年加拿大數學家穆瑟(Leo Moser)率先提出上述問題。最容易想到能夠搬運過轉角的沙發,當然就是邊長為1的正方形,只要向右平移進轉角,再向下平移出轉角。但如果用半徑為1的半圓形,讓半圓的直徑邊貼緊走廊下緣向右移動,當完全進入轉角時,就可以讓沙發旋轉90度繼續前進。半圓的沙發面積為π/2(約略1.57),顯然大於正方形沙發。




英國數學家漢莫斯理(John Hammersley)發現把半圓從中間切斷朝兩側拉開,在兩個90度的扇形之間塞入一個矩形,然後在矩形下部切除一個小半圓,如此產生的沙發也可以平滑搬運過直角彎道(圖一)。當切除的小半圓半徑是2/π(約略0.637)時,這種形狀的沙發面積達到最大值2/π+π/2,約等於2.2074。漢莫斯理以為自己找到「搬運沙發問題」所追求的最大值,但是他沒法證明確實如此。


1992年美國數學家葛沃(Joseph Gerver)改良漢莫斯理的沙發形狀,在局部上使用微分方程尋求最佳解,結果解出了3段直線與15段曲線,連結起來得到形似漢莫斯理的沙發(圖二),面積稍微擴大到2.2195。葛沃猜想,這就是「搬運沙發問題」的最佳解,但是直到目前為止既沒有得到證實,也沒有人找到更大的沙發。


在搬運沙發問題裡,順著走廊只有右轉一次。如果走廊向下之後又轉向水平方向,那麼前面提到的各式沙發,除了正方形之外,其他都沒法左轉過彎。「搬運沙發左右轉問題」(Ambidextrous Moving Sofa Problem)最近有了一些令人矚目的進展。加州大學戴維斯分校的數學教授羅密克(Dan Romik)推廣了葛沃的方法,得到一個形狀像啞鈴的沙發(圖三),面積大約等於1.644955218425440…。羅密克的沙發外緣也是由18段曲線連接而成,每一段都是某個微分方程的解。


對此問題感興趣的讀者,可以瀏覽羅密克的網頁https://www.math.ucdavis.edu/~romik/movingsofa/,不僅能夠看到搬運沙發的動畫,也可以下載走廊與各個沙發的3D列印檔案,非常適合實作,以及觀察沙發搬運的動態歷程。






更多相關文章

2017年11月189期減重不能只算熱量 雜誌訂閱

本期最新文章