形上集

1912年8月

愛因斯坦選擇相信等效原理,因而放棄純量場重力理,才走出困境。

撰文/高涌泉

形上集

1912年8月

愛因斯坦選擇相信等效原理,因而放棄純量場重力理,才走出困境。

撰文/高涌泉


關於廣義相對論,愛因斯坦的朋友兼競爭對手、哥丁根大學數學大師希爾伯特說過一段令人難忘的話:「哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦,儘管如此,做出廣義相對論的是愛因斯坦,而非數學家!」要了解這段話的深意,就必須知道希爾伯特與愛因斯坦兩人在1915年底,幾乎同時獨立推導出正確的廣義相對論方程式,所以假如愛因斯坦的重力研究欠缺了最終的臨門一腳,希爾伯特還是可以代替愛因斯坦完成任務。


希爾伯特這段話顯示,他很清楚廣義相對論之功屬於愛因斯坦,因為其中最重要的洞見--重力是四維彎曲時空的性質,全然是愛因斯坦的。一旦愛因斯坦把問題定義清楚,也就是找出描述物質如何決定時空曲率的方程式,剩下的只是技術細節。愛因斯坦於1915年中應希爾伯特之邀訪問了哥丁根,給了一系列演講,向那裡的數學家解說他於廣義相對論的進路,此時希爾伯特才得知當時困擾愛因斯坦的數學麻煩,也參與競逐、成為愛因斯坦的對手。


愛因斯坦何以會想把重力與時空的幾何性質聯繫起來?他的目的是要獲得與狹義相對論相容的重力論。古典的牛頓重力是瞬時超距力,也就是重力有無窮大的傳遞速度,這違背了狹義相對論中光速是速度上限的原則。設想你是上世紀初的物理學家,你在讀了愛因斯坦1905年的狹義相對論論文之後,就立刻認知有個新問題出現了,亦即如何結合牛頓重力論與狹義相對論。你認定這是一個絕佳機會,但是該如何著手呢?


你知道牛頓重力論可以用單一個數學函數來描述,這個函數就是高中生都學過的重力位能函數φ(x),以數學術語來說,φ(x)是一個純量場。所以你便想或許只要修改φ(x)所滿足的方程式,讓它與相對論原理相符,即能完成任務。當時有不少物理學家就是這麼想,例如德國物理學家亞伯拉罕以及米氏,連愛因斯坦本人也是如此。


如果愛因斯坦執著於此,彎曲時空就不會出現了,因為描述四維彎曲時空需要用上含有10個分量的度規張量場(x),與利用純量場φ(x)的進路完全不同。一個關鍵點是愛因斯坦於1907年在瑞士伯恩專利局辦公室忽然想到「一生中最快樂的想法」,那就是「重力場和因電磁感應而產生的電場類似,其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言,至少在他的附近,重力場並不存在。」這個點子的另一種說法是:一艘火箭位於外太空,你身處其中,若火箭向上加速,物體無論其質量,都會以相同的加速度向下落,因此你會覺得一切好似火箭仍停留在地表,但受到朝下重力場的影響。這樣把重力與加速座標對等起來的觀點稱為「等效原理」。


愛因斯坦由等效原理推論出兩件事:(1)光線在重力場中會偏折;(2)時鐘的速率與尺的長度都會受到重力的影響。他知道純量場理論或許無法包容等效原理,但還不能確定。當時並無實驗可以證實愛因斯坦的推論,所以一切取決於個人的判斷。提出純量場理論的亞伯拉罕與米氏等人選擇放棄等效原理,因為這個理論是最簡單的相對論性重力論,而愛因斯坦則選擇相信等效原理,只是他還不知如何建構一個合理的理論。


自1908年起的三年多裡,愛因斯坦把心思擺在量子論。到了1911年6月,他又回頭思考重力問題,約一年後,於1912年8月,他終於確信純量場理論無法滿足等效原理。由於狹義相對論「長度收縮」效應,一個旋轉圓盤(依據等效原理,圓盤的向心加速度意味著有個離開圓心朝向四方的重力場)的周長與半徑之比不是平面幾何所預測的π,因此唯一的出路就是使用高斯所發展出來的曲面幾何語言來建構理論。他不熟悉那些數學,便寫信向大學同窗數學家葛羅斯曼求救:「你一定要幫我,不然我要瘋了。」葛羅斯曼伸出了援手,也讓自己成為歷史人物。